¿Por qué el volumen de la esfera [matemáticas] \ frac43 \ pi r ^ 3 [/ matemáticas]?

Answer 1

Hay varias formas de demostrarlo matemáticamente. El método más fundamental para encontrar el volumen de cualquier estructura simétrica en 3D consiste en el siguiente procedimiento: primero elija un elemento volumétrico infinitesimal arbitrario dentro de la estructura dada, escriba la expresión para su pequeño volumen y luego simplemente integre esta expresión para toda la estructura usando cálculo . Siguiendo el mismo enfoque podemos derivar la expresión para el volumen de una esfera. Aquí, el elemento de volumen pequeño se puede elegir de muchas maneras, pero finalmente, al integrarse con los límites apropiados, alcanzará el mismo resultado / expresión.

Método 1: se puede suponer que una esfera está constituida por un gran número de discos delgados que se mantienen uno sobre otro con radios que varían continuamente. Considere uno de esos discos elementales.

Método 2: Elija un elemento de capa delgada y luego continúe:

Método 3: utilice el elemento de volumen diferencial tomado en un sistema de coordenadas esféricas

Método 4:

Una forma de visualizar una esfera sólida también puede ser aproximarla como si estuviera compuesta por un gran número de conos infinitesimales, cada uno de esos conos tiene su vértice en el centro de la esfera. Obviamente, la altura de estos conos será igual al radio de la esfera (digamos R ) y su radio base será infinitesimalmente pequeño (digamos dr ). Ahora, para obtener el volumen de la esfera, primero escriba la expresión para el volumen de un cono elemental y luego integre:

¡Saludos!

Answer 2

Creo que la mejor manera es hacerlo de la manera en que lo hicieron los matemáticos antiguos, sin embargo, implica un procedimiento similar al cálculo. Como sigue:

Envuelva una hoja rectangular alrededor de la esfera para que rodee exactamente la circunferencia. Esto hace que la dimensión horizontal del rectángulo sea 2pi.R. (R representa el radio de la esfera). La dimensión vertical de la hoja que necesita hacer es tan alta como la esfera, es decir, 2R.

Ahora proyectamos la superficie de la esfera en la hoja, de forma similar a una proyección de Mercator desde la geografía, pero no es lo mismo (estrictamente hablando, la proyección se llama proyección cilíndrica horizontal). Oriente la esfera como la Tierra con el Norte en la parte superior.

Considere cada arco de la esfera, que se proyectará sobre la hoja circundante, como un paralelo de latitud (también desde la geografía). El radio del paralelo de la latitud en términos del radio de la esfera es (que denota el ángulo de latitud como t grados)

r = Rcos (t) .. (1)

donde r es el radio del paralelo de la latitud.

Cuando la pequeña longitud del arco se proyecta sobre la hoja y se barre alrededor de 360 ​​grados, un área de 2pi.Rcos (t) (= 2pi.r) multiplicado por la longitud del arco (digamos, dR) se proyecta sobre la hoja plana. Cuando parte de un arco circular se proyecta sobre una hoja plana de esta manera, la longitud en la hoja es dRcos (t). Esta longitud se barre a lo largo de la longitud de la hoja, que es 2.pi.R. Pero recuerde de la ecuación anterior (1), que

R = r / (cos (t))

y entonces el área de proyección en la hoja es

2.pi. (r / cos (t)). dRcos (t)

es decir, el cos (t) s se cancela, dejando

2.pi.r.dR

Todas las pequeñas longitudes de arco, dR, se suman del polo sur al polo norte. En resumen, el área de la esfera es igual al área de la hoja rectangular, que se establece en 2.pi.R multiplicado por 2R, lo que equivale, por supuesto, a 4.pi.R ^ 2.

Para obtener el volumen de una esfera en la forma en que lo hicieron los antiguos matemáticos, eso no es cálculo, siga leyendo:

Imagina la esfera con una cuadrícula dibujada en su superficie. Los cuadrados de la cuadrícula se pueden hacer tan pequeños como quieras. Cada cuadrado en la superficie puede ser tratado como la base de una pirámide cuadrada con su vértice en el centro de la esfera. El volumen de esta pirámide elemental es 1/3 del área de la base por su altura perpendicular, que es el radio de la esfera (r). Ahora imagine que la esfera se abre de tal manera que su área de superficie se coloca plana. Las pirámides de volumen se retienen por encima de sus bases. Entonces, lo que tenemos ahora es un área de 4.pi.r ^ 2 con un bosque de pirámides muy delgadas de altura r, igualmente espaciadas en el área, que por supuesto es 4.pi.r ^ 2. El volumen de todas estas pirámides es 1/3. Área de la base por la altura r, o

4.pi.r ^ 2. (1/3) .r = 4 / 3.pi.r ^ 3.

Answer 3

[matemática] \ grande \ Pi \ textf {pastel de yramida (de una bola de masa)} \, [/ matemática]

Haga una bola de masa esférica con el radio exacto [matemático] r [/ matemático] de la centrífuga de su cocina:

Gire la bola de masa, de modo que las fuerzas centrífugas la rompan en la parte superior e inferior creando una forma cilíndrica con dos cavidades conales:

Corte un lado del manto abierto, sobre toda la longitud del cilindro.

Dóblalo lentamente para abrirlo. Con un poco de masaje obtienes una pirámide estirada

Teniendo el volumen [math] V = \ frac {1} {3} l \ times w \ times h [/ math], con

• longitud [matemática] l = 2 \ pi r [/ matemática] (circunferencia de la centrífuga)
• ancho [matemático] w = 2r [/ matemático] (altura del cilindro)
• altura [matemática] h = r [/ matemática] (el radio de la centrífuga)

Esto produce [matemáticas] V = \ frac43 \ pi r ^ 3 [/ matemáticas], que es el volumen de la esfera inicial

[matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

PD: 60 minutos en 180 [matemáticas] ^ {\ circ} [/ matemáticas], sabe muy bien el día [matemáticas] \ pi [/ matemáticas].

Answer 4

Imagine cada pequeño parche de la superficie de la esfera como la base de una pequeña pirámide (o cono o cualquier figura que se estrecha) de altura [matemática] r [/ matemática] que se extiende hasta el centro de la esfera. De esta manera, vemos que el volumen de la esfera es el mismo que el volumen total de un grupo de pirámides de altura [matemática] r [/ matemática] y el área base total igual al área de superficie de la esfera.

Si combina esto con la fórmula del volumen para una pirámide (o cono o cualquier figura que se estrecha) y la fórmula del área de superficie para una esfera, obtendrá [matemática] V = \ frac {1} {3} 4 \ pi r ^ 2 r = \ frac {4} {3} \ pi r ^ 3 [/ matemáticas].

Enlaces de fondo relevantes:
Geometría: ¿Cuál es la intuición detrás de la fórmula para el volumen de una pirámide?
Geometría: ¿Cuál es la intuición detrás de la fórmula para el área de superficie de una esfera?

(Para lo que vale, este mismo argumento generalmente muestra que el tamaño interior de una bola dimensional [matemática] n [/ matemática] es el mismo que el de una pirámide dimensional [matemática] n [/ matemática] con una base igual al tamaño de la superficie de la pelota y a una altura igual al radio de la pelota.

Combinado con los dos enlaces anteriores (y los casos base en que una bola [math] 0 [/ math] -dimensional consiste en un punto [math] 1 [/ math], mientras que una bola [math] 1 [/ math] -dimensional tiene [matemática] 2 [/ matemática] puntos de superficie), esto nos permite determinar recursivamente el tamaño interior y de superficie de bolas de cualquier dimensión, en términos de su circunferencia y radio).

Answer 5

El volumen de la esfera se puede encontrar usando cálculo y sin usar cálculo. Te explicaría el enfoque de cálculo, ya que es fácil.
Considere una esfera de radio r.
En general, para la integración consideramos una pequeña sección de unas dimensiones particulares.
Aquí en la figura siguiente, consideramos un cilindro de radio x y altura y.
Para obtener todo el volumen de la esfera, necesitamos agregar estas pequeñas secciones.
Observe que cuando agregamos estas pequeñas secciones, usamos integración, porque ‘x’ varía aquí de 0 a r. Por lo tanto, no se puede usar la suma simple, de lo contrario nos daría un cilindro.

El elemento diferencial estaría dado por,

La suma de los elementos cilíndricos es 0 a r para un hemisferio. Por lo tanto, el volumen de una esfera es x² + y² = r².

De la ecuación del círculo.

Esto nos da:
V = [matemáticas] \ tfrac {4} {3} [/ matemáticas] .π.r³

(Fuente: derivación de la fórmula para el volumen de la esfera por integración)

Este video le dará una idea adecuada de la derivación anterior.

El video anterior también nos da la razón por la que usamos integración y no suma.

Answer 6

Arquímedes derivó por primera vez el volumen de una esfera y es anterior al cálculo en más de una docena de siglos.

Usó un cilindro circunscrito. De hecho, su método (Método de agotamiento) se refinó más tarde en el principio de Cavalieri y se considera un primer paso hacia el cálculo.

Ver también: Geometría: ¿Cuál es la intuición detrás de la fórmula para el volumen de una esfera?

Answer 7

Usando triple integración:

Arquímedes derivó por primera vez el volumen de una esfera y es anterior al cálculo en más de una docena de siglos.

Usó un cilindro circunscrito. De hecho, su método (Método de agotamiento) se refinó más tarde en el principio de Cavalieri y se considera un primer paso hacia el cálculo.

Answer 8

Un elemento de volumen esférico, en coordenadas esféricas, es [math] dV = r ^ 2sin \ phi d \ phi d \ theta dr [/ math], donde, en toda la esfera, [math] r [/ math] varía de 0 a [matemática] R [/ matemática], [matemática] \ phi [/ matemática] varía de [matemática] 0 [/ matemática] a [matemática] \ pi [/ matemática] y [matemática] \ theta [/ matemática ] varía de [matemáticas] 0 [/ matemáticas] a [matemáticas] 2 \ pi [/ matemáticas]. La integración sobre estos rangos da

[matemáticas] V = \ displaystyle \ int_ {r = 0} ^ R \ int _ {\ phi = 0} ^ \ pi \ int _ {\ theta = 0} ^ {2 \ pi} r ^ 2 sin \ phi d \ phi \ d \ theta dr [/ math]

o

[matemáticas] V = \ frac {4} {3} \ pi R ^ 3 [/ matemáticas].

Answer 9

La respuesta general para una forma esférica para cualquier dimensión es más interesante.

Definamos una esfera en n-dimensión como el volumen encerrado dentro de la superficie

[matemáticas] x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} +… + x_ {n} ^ {2} = R ^ {2} [/ matemáticas]

El volumen viene dado por el radio multiplicado por el ángulo sólido total multiplicado por el área de la superficie de la esfera dividida por [matemáticas] \ frac {1} {n}. [/ math] ¿Por qué [math] \ frac {1} {n} [/ math]? Debido a que el volumen de un cono en dimensión n viene dado por [matemática] (\ frac {1} {n} [/ matemática] X [matemática] [/ matemática] altura del cono X el área de la base del cono ), y la esfera puede considerarse como una composición de conos. Por cono me refiero a un volumen genérico que consiste en cualquier área confinada por una simple curva cerrada en cualquier plano dimensional [matemático] n-1 [/ matemático] como una de sus caras (que se llama base), y otra superficie hecha mediante la conexión La curva cerrada simple a cualquier punto fuera del plano mediante líneas rectas. La distancia mínima de este punto desde el plano se llama altura del cono.

Ahora, considerando la esfera como una composición de conos (esta idea puede hacerse rigurosa, lo que omito), el volumen de la esfera resulta ser

[matemáticas] = \ frac {1} {n} ~ R ~ R ^ {n-1} ~ [/ matemáticas] ángulo sólido total en n dimensión

[matemáticas] = \ frac {1} {n} ~ R ^ {n} ~ \ frac {2 \ pi ^ {\ frac {n} {2}}} {\ Gamma (\ frac {n} {2}) } [/matemáticas]

Calcular el ángulo sólido total en la dimensión [matemática] n [/ matemática] es un buen ejercicio. Te insto a que lo revises tú mismo.

Answer 10

Antes de comenzar, sabemos,

Área del círculo = pi.Rˆ2, donde R es el radio del círculo.

Ahora imagínate así,

Dada una esfera de radio R.

La esfera está formada por círculos infinitos apilados unos sobre otros, con sus centros en una sola línea recta (léase: eje). entonces el volumen de la esfera es la suma del área de cada uno de los círculos apilados unos sobre otros.

El radio de cada círculo varía de 0 en la parte superior, a R en el centro y nuevamente 0 en la parte inferior. (o si corta la esfera por la mitad, el volumen es dos veces el volumen de la mitad y el radio varía de 0 en la parte superior a R en el centro (léase: abajo)).

Matemáticamente, podemos escribir esto como: (tomando hemisferio)

#ref A #
volumen de esfera = 2 * suma de (pi.rˆ2), donde 0 <= r <= R. (¡el círculo de radio 0 es un punto!)

Tenemos círculos infinitos apilados unos sobre otros, con radio variable, para formar la esfera.

entonces consideremos un círculo C1 a una distancia x del círculo central (es decir, el centro de este círculo está a una distancia x del centro del círculo con radio R).

Otro círculo C2 a una distancia muy pequeña (infinitesimal), digamos dx , se apila sobre C1 de modo que el radio de estos círculos sea igual.

Digamos que el radio de los círculos sea r, entonces el volumen del cilindro formado por estos 2 círculos es,

dV = pi.rˆ2.dx ……… (1)

Ahora, si el círculo C1 está a una distancia x del círculo central C. Los centros de C, C1 y cualquier punto en el círculo C1, forman un triángulo rectángulo, satisfaciendo la ecuación:

xˆ2 + rˆ2 = Rˆ2 ……… (2)

Esto nos da

rˆ2 = Rˆ2 – xˆ2 …… .. (3)

ahora sustituyendo la ecuación (3) en (1) tenemos,

dV = pi. (Rˆ2 – xˆ2) .dx

=> dV = pi.Rˆ2.dx – pi.xˆ2.dx

x varía de 0 a R, entonces

El volumen total de la Esfera se puede escribir como: (#ref A #)

integral (dV) = 2 * {integral (pi.Rˆ2.dx – pi.xˆ2.dx)}, x -> 0 a R

integral (dV) = 2 * {integral (pi.Rˆ2.dx) – integral (pi.xˆ2.dx)}, x -> 0 a R

Al integrar y evaluar la ecuación anterior, obtenemos

V = 2 * { pi.Rˆ2.R – (pi.Rˆ3) / 3 }

=> V = 2 * {2 pi.Rˆ3) / 3 }

=> V = 4. pi.Rˆ3) / 3

=> V = 4 / 3.pi.Rˆ3 # respuesta

Answer 11

Puedes descomponer una esfera en un número infinito de conos:

Aproxima una esfera de radio r como compuesta de conos infinitesimales con altura r.

Volumen de un cono: 1/3 * Área base * r
Volumen de todos los conos: 1/3 * área de superficie de la esfera * r = 1/3 (pi * r ^ 2) * r = 4/3 * pi * r ^ 3

Para conocer el volumen de un cono derivado “sin cálculo”, consulte este increíble enlace: El volumen de un cono

Answer 12

Si realiza la integración de un círculo sobre un eje, la fórmula para el volumen de una esfera se integra a V = 4/3 pi r ^ 3.

Answer 13

Suponga que Sphere está hecha de un número infinito de discos delgados (con radio variable). De este modo, el volumen del disco de radio ‘r’ y altura dh será pi * r * r * dh.
Ahora integre wrt h tomando dh = dr (condición en la esfera)

¡Ahora tiene el volumen como 4πr³ / 3!
Por lo tanto demostrado 😛

Answer 14

Bueno, primero el área de superficie de una esfera es [matemática] 4 \ pi r ^ 2 [/ matemática]

Podemos pensar que el volumen de la esfera es la suma del área de la superficie de la esfera desde la más pequeña (en el centro) hasta la más grande (la esfera misma). Err, ya sabes, como la cebolla? Tiene capas de cebolla más pequeña, ¿verdad? Imaginemos que esas capas son infinitamente delgadas (por lo que su grosor no importa). Cada capa tiene área de superficie. Si queremos saber el volumen, simplemente agregue esas áreas de superficie.

Entonces, tenemos:

[matemáticas] \ int_0 ^ r \! 4 \ pi r ^ 2 \, \ mathrm {d} r. [/ Math]

que es [matemática] \ frac {4} {3} [/ matemática] [matemática] \ pi r ^ 3 [/ matemática]

Answer 15

[Ingen titel]

Principio de caballero:

LHS es un cilindro con un cono eliminado, RHS es un hemisferio.
En cada sección transversal, las áreas de la región amarilla en ambos son las mismas.

Volumen RHS = volumen del hemisferio
Volumen LHS = (volumen del cilindro – volumen del cono)

Answer 16

Debe comenzar con algunas proposiciones básicas que el niño pueda entender. Por ejemplo, el área o el perímetro de un cuadrado, simplemente unificando conceptos básicos de multiplicación, o considerando la longitud. Dado que un círculo puede inscribirse en un cuadrado, es fácil comprender el límite superior del área de un círculo y, además, dada esa área, un límite superior del área de una esfera. Esos límites superiores son área o volumen de cubo o cilindro que los contiene. Ahora, con respecto a ciertas constantes o el pi trascendental, como una relación, son interesantes para sondear, y debe preguntar a un geómetra.

Answer 17

Buscar en Google “esfera de volumen de álgebra” me dio este enlace, que parece ser una derivación puramente algebraica: Lección PRUEBA FÁCIL del volumen de una esfera

Answer 18

Es difícil entender la derivación sin integración.

Solía ​​visualizar el área de un círculo como el área de un triángulo con longitud 2 * pi * R y altitud R
De manera similar, el volumen de una esfera es el valor de un cono con área base 4 * pi * R * R y altura R

Es una analogía razonable, aunque matemáticamente es dudosa.

Answer 19

Arquímedes dio una prueba usando geometría pura:

Método de Arquímedes

Answer 20

Deje caer una esfera de densidad uniforme mayor que el agua en un recipiente con agua, capture el desbordamiento y mida el volumen. El volumen de la esfera es igual al volumen del agua desplazada. Es empírico, pero a partir de varias mediciones puede calcular la fórmula general.