No nos ha mostrado la parte en la que hablan sobre lo que quieren decir con sigma en este problema ni lo que representa esta figura. Sospecho que esta forma representa el área de la sección transversal de una viga larga con el eje largo saliendo de la página y están comenzando a desarrollar las ecuaciones para las vigas en flexión.
Suponiendo que de eso se trata todo esto, entonces hay un estrés, sigma, que actúa perpendicular al elemento de área pequeña, dA. La pequeña contribución a la fuerza que actúa en esa área es dF = sigma dA. Y los momentos debidos a esa pequeña fuerza son x dF e y dF. Las dos integrales suman los momentos en toda el área de la sección transversal.
Las segundas dos ecuaciones con P / A están hablando de la fuerza axial promedio, P, que se aplica a la viga. A es el área total de la sección transversal de la viga. Para esta parte, la tensión es la misma en toda la viga. Es sigma = P / A. Como es una constante, la llevan fuera de la integral y la integral se simplifica a integral del momento brazo dA.
Indican sin explicación que la fuerza axial actúa a través del centroide. Asumen que usted sabe lo que significan por centroide y también suponen que si sabe lo que significa centroide, entonces comprenderá por qué la resultante no tendrá ningún momento sobre el centroide. Por supuesto, están equivocados al asumir todo eso. Y eso es exactamente por qué lo preguntas. Saltaron un paso tan obvio para ellos, pero no tan obvio para usted.
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Es probable que si miras más atrás en el mismo libro, encuentres dónde definen el centroide. Si tienen eso en el libro, entonces ve y revísalo. Pero encontrará que el centroide es el punto sobre el cual la integral x dA = 0 y la integral y dA = 0. Estos definen la ubicación del centroide. Observe cómo estas mismas integrales están multiplicando el P / A por la fuerza axial. Las integrales resultan ser las mismas que las integrales que definen el centroide y, por lo tanto, son cero. Entonces, cuando multiplicas por una constante, siguen siendo cero. Eso significa que la fuerza axial no tiene momento sobre el centroide. Asumieron que ya entendiste eso.