Un círculo (radio = 4) tiene su centro en el eje y positivo, y toca [matemática] y = \ dfrac {x ^ 2} {4} [/ matemática] en A y B. Encuentre las coordenadas de B con [ matemáticas] x_B> 0 [/ matemáticas]

Answer 1

Las dos fórmulas son:

(Notación: * significa tiempos y ** significa el poder de y Sqr es la raíz cuadrada de)

Círculo: x ** 2 + y ** 2 = 16

Parábola: y = (x ** 2) / 4

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Reescribe la fórmula de la parábola: x ** 2 = 4 * y

Eso puede ser sustituido en la fórmula del círculo:

Paso 1

4 * y + y ** 2 = 16

Esto se puede escribir en una forma normal:

Paso 2

y ** 2 + 4 * y – 16 = 0

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Usa la fórmula cuadrática para resolver y:

(escrito con y en lugar de x)

La forma normalizada es:

Paso 3

a * y ** 2 + b * y + c

Así en nuestra ecuación:

Paso 4

a = 1, b = 4, c = -16

Fórmula cuadrática (escrita con y en lugar de x):

y = -b (+ o -) Sqr (b ** 2 – 4 * a * c) / 2 * a

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Paso 5

y = -4 (+ o -) Sqr (4 ** 2 – 4 * 1 * (- 16)) / 2 * 1

así:

y = -4 (+ o -) 4Sqr (5) / 2 – → y = -6.47 o 2.47

Paso 6

Como el círculo se encuentra en la ‘copa’ de la parábola, estamos tratando con un valor positivo:

y = 2.47

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Sustituya este valor de y en la ecuación de círculo o parábola y resuelva para x.

Usando la ecuación de la parábola:

Paso 7

2,47 = (x ** 2) / 4

o x = Sqr (4 * 2.47) = 3.14

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Respuesta aproximada:

x = 3.14, y = 2.47

Answer 2

Deje que el círculo tenga centro [matemática] (0, a) [/ matemática].

Entonces la ecuación del círculo es:

[matemáticas] x ^ 2 + (ya) ^ 2 = 16. [/ matemáticas]

Encontremos las intersecciones del círculo y la parábola.

• [matemáticas] x ^ 2-4y = 0 [/ matemáticas]
• [matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2-2ay + a ^ 2-16 = 0 [/ matemáticas]

Por lo tanto

• [matemática] y ^ 2 + 2 (2-a) y + (a ^ 2-16) = 0 [/ matemática]
• [matemáticas] x ^ 2 = 4y. [/ matemáticas]

Entonces

• [matemáticas] {y = (a-2) \ pm \ sqrt {4-4a + a ^ 2-a ^ 2 + 16}} = (a-2) \ pm 2 \ sqrt {5-a} [/ matemáticas ]
• [matemáticas] x ^ 2 = 4y. [/ matemáticas]

A partir de observaciones místicas (provenientes de considerar [matemáticas] x, y \ in \ mathbb {C} [/ matemáticas]), que realmente no quiero explicar, el caso que le interesa ocurre cuando dos raíces “se unen” , eso es cuando [matemática] D = 16 (5-a) = 0, [/ matemática] entonces [matemática] 5 = a [/ matemática].

Esto significa que el centro del círculo es [matemática] (0,5) [/ matemática] y las coordenadas de sus puntos son [matemática] (\ pm 2 \ sqrt {3}, 3) [/ matemática].

Answer 3

Dado que el círculo y la parábola se tocan entre sí en [matemáticas] B [/ matemáticas], la pendiente de la línea tangente en ese punto es igual.

Ecuación del círculo

[matemáticas] x ^ 2 + (ym) ^ 2 = 16 [/ matemáticas], ya que conocemos la abscisa del centro del círculo.

[matemáticas] y = \ dfrac {x ^ 2} {4} \ implica x ^ 2 = 4y [/ matemáticas]

Sustituyendo esto en la ecuación del círculo

[matemáticas] 4y + (ym) ^ 2 = 16 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y ^ 2–2my + 4y + m ^ 2–16 = 0 [/ matemáticas]

[matemática] \ implica y ^ 2 + (4–2m) y + (m ^ 2–16) = 0 [/ matemática]

Dado que las curvas se tocan entre sí en [matemáticas] B [/ matemáticas], por lo tanto, en ese punto, sus valores [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas] son ​​los mismos, lo que significa que esta ecuación debe Una raíz (real) repetida.

Entonces el discriminante de la ecuación sería [matemática] b ^ 2–4ac = 0 [/ matemática]

[matemática] (4–2m) ^ 2–4 (m ^ 2–16) = 0 [/ matemática]

[matemáticas] \ implica (m-2) ^ 2- (m ^ 2–16) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica m ^ 2–4m + 4-m ^ 2 + 16 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 4m = 20 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica m = 5 [/ matemáticas]

Conectarlo de nuevo a la ecuación cuadrática produce …

[matemáticas] y ^ 2–6y + 9 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (y-3) ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y = 3 [/ matemáticas]

Sustituyendo esto en la ecuación de los resultados de la parábola …

[matemáticas] x ^ 2 = 4y [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x ^ 2 = 12 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x = \ pm \ sqrt {12} = \ pm 2 \ sqrt {3} [/ matemáticas]

Coordenadas de [matemáticas] A = (-2 \ sqrt {3}, 3) [/ matemáticas]

Coordenadas de [matemáticas] B = (2 \ sqrt {3}, 3) [/ matemáticas]

Centro del círculo [matemática] = (0, 5) [/ matemática]

Answer 4

La respuesta es [math] \ large (x_B, y_B) = (\ sqrt {12}, 3) [/ math]

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Derivación

La derivada [math] y ‘= \ frac {x} {2} [/ math] en el punto B debe ser ortogonal al vector MB:

Combinado, esto produce:

[matemáticas] \ frac {x_B} {y_M-y_B} = \ frac {x_B} {2} \ implica y_M-y_B = 2 [/ matemáticas]

Podemos derivar otra relación para [math] y_M-y_B [/ math] del círculo con radio 4:

[matemáticas] x_B ^ 2 + (y_M-y_B) ^ 2 = 16 \ implica y_M-y_B = \ sqrt {16 – x_B ^ 2} [/ matemáticas]

La combinación de estas dos relaciones produce la coordenada x:

[matemáticas] \ sqrt {16 – x_B ^ 2} = 2 \ implica x_B = \ sqrt {12} [/ matemáticas]

Y enchufarlo en la función original produce la coordenada y:

[matemáticas] y_B = \ frac {x_B ^ 2} {4} = 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 5

Necesita encontrar puntos de intersección entre:

y = x ^ 2/4

(ym) ^ 2 + x ^ 2 = 16

teniendo en cuenta que los puntos de intersección tendrán un valor similar para y (fácil de entender) => solo una raíz y.

x ^ 2 = 4 * y =>

y ^ 2 – 2 * y * m + m ^ 2 + 4 * y = 16

y ^ 2 – 2 * y * (m-2) + m ^ 2 – 16 = 0 (1)

Suponga que hay alguna constante a, tal que:

a = m-2

a ^ 2 = m ^ 2 – 16

Esto implicará que podemos simplificar (1) como:

(ya) ^ 2 = 0

Entonces y solo tendrá una solución y = a

Sustituir a

(m-2) ^ 2 = m ^ 2 – 16

m ^ 2 -4 * m + 4 = m ^ 2 – 16

4 * m = 20

m = 5

a = 3

y = 3

x = sqrt (12)

Por lo tanto:

A (-sqrt (12), 3)

B (sqrt (12), 3)

Answer 6

Dejar [matemáticas] x = 2t ………. (1) [/ matemáticas]

y [matemáticas] y = t ^ 2 ………. (2) [/ matemáticas]

ser la ecuación paramétrica para la parábola dada.

[matemáticas] y ‘= \ dfrac {\ frac {dy} {dt}} {\ frac {dy} {dt}} = t [/ matemáticas]

deja que (0, h) sea el centro del círculo. Entonces [matemáticas] x ^ 2 + (yh) ^ 2 = 16 ………. (3) [/ matemáticas]

En el punto de contacto del círculo y la parábola, sustituyendo x e y desde (1) y (2) en (3)

[matemáticas] 4t ^ 2 + (t ^ 2-h) ^ 2 = 16 ……………………………… (4) [/ matemáticas]

Diferenciando (3)

[matemáticas] 2x + 2 (yh) y ‘= 0 ………… .. (5) [/ matemáticas]

Sustituyendo valores en (5)

[matemáticas] 4t + 2 (t ^ 2-h) t = 0 \ implica t ^ 2 = h-2 [/ matemáticas]

sustituyendo en (4) obtenemos h = 5; y [matemáticas] t = \ pm \ sqrt 3 [/ matemáticas]

Las coordenadas de B son [matemáticas] (2 \ sqrt 3, (\ sqrt 3) ^ 2) = (2 \ sqrt 3,3) [/ matemáticas]

Answer 7

Por lo que puedo ver, tienes:

[matemática] x ^ 2 + (y – b) ^ 2 = 4 ^ 2 [/ matemática] porque el círculo tiene radio 4 y centro desconocido en el eje y.

También [matemática] y = x ^ 2/4 [/ matemática] entonces [matemática] x ^ 2 = 4y [/ matemática]

Poner esto en la primera relación que escribí da

[matemáticas] 4y + y ^ 2 + b ^ 2 – 2by = 16 [/ matemáticas] o

[matemáticas] y ^ 2 + (4-2b) y + (b ^ 2 – 16) = 0 [/ matemáticas]

Esta es una cuadrática en [matemática] y [/ matemática] pero como tenemos tangentes, ambos valores de [matemática] y [/ matemática] deben ser los mismos para que “[matemática] b ^ 2 – 4ac = 0 [/ matemática] ”

[matemáticas] (4-2b) ^ 2 – 4 (b ^ 2 – 16) = 0 [/ matemáticas] [matemáticas] [/ matemáticas]

[matemáticas] 16 + 4b ^ 2 -16b – 4b ^ 2 + 64 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 16 b = 80 [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] b = 5 [/ matemáticas]

y [matemáticas] y = \ frac {2b – 4} {2} = 3 [/ matemáticas]

B es [matemáticas] (\ sqrt {12}, 3) [/ matemáticas] si mi álgebra está bien;)