¿Cuál es la forma más sencilla de encontrar el área sombreada de esta imagen?

Answer 1

Centrémonos primero en este sector:

Podemos probar que son 30 grados, entonces el área es

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ pi 1 ^ 2 \ cdot 30} {360} = \ frac {\ pi} {12} [/ matemáticas]

---

Ahora calcule el área de este triángulo:

[matemáticas] \ displaystyle b = \ frac {1} {2} – \ left (1 – \ frac {\ sqrt 3} {2} \ right) = \ frac {\ sqrt 3 – 1} {2} [/ math ]

y

[matemáticas] \ displaystyle h = \ frac {1} {2} [/ matemáticas]

Entonces el área del triángulo es

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {bh} {2} = \ frac {\ sqrt 3 – 1} {8} [/ matemáticas]

---

Cuatro veces esta área:

es

[matemáticas] \ displaystyle 4 \ left (\ text {Area} _ {\ text {sector}} – 2 \ cdot \ text {Area} _ {\ text {triangle}} \ right) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = 4 \ left (\ frac {\ pi} {12} – 2 \ cdot \ frac {\ sqrt 3 -1} {8} \ right) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ pi} {3} – \ sqrt 3 + 1 [/ matemáticas]

cual es la solucion

Answer 2

Si suponemos que la longitud del lado del cuadrado es 1, y consideramos que la esquina inferior derecha, C, es el centro del círculo azul,

entonces la hipotenusa del triángulo rojo es obviamente un radio del círculo y, por lo tanto, tiene una longitud de 1. La simetría del problema significa que la pata más corta de este triángulo es 1/2 y, por lo tanto, el ángulo que se muestra es de 30 grados.

Ahora, si suponemos que la longitud del lado del cuadrado no importa, siempre y cuando siga siendo un cuadrado, entonces tenemos (independientemente del tamaño de la figura):

Entonces el ángulo central también será de 30 grados, lo que significa:

Las áreas de las regiones verde y amarilla, combinadas, son 30/360 de un círculo de radio r.

A (g & y) = 30/360 * (pi * r ^ 2) = 1/12 * pi * r ^ 2

El área de solo la región verde es el área de un triángulo isósceles con 2 lados de longitud r, donde el ángulo más pequeño es de 30 grados, y los otros dos son de 75 grados. El área de este triángulo se puede encontrar dividiendo en dos triángulos de 75–15-90 grados, cada uno con hipotenusa r. Las longitudes de los lados, entonces, son r * cos (15) y r * sin (15), y cada triángulo tiene área 1/2 * r * cos (15) * r * sin (15). Entonces,

A (g) = r * cos (15) * r * sin (15) = r ^ 2 * cos (15) * sin (15)

Por lo tanto, A (y) = A (g & y) – A (g) = 1/12 * pi * r ^ 2 – cos (15) * sin (15) * r ^ 2 = (pi / 12 – cos (15) * pecado (15)) * r ^ 2

Se puede encontrar que la base del triángulo isósceles 30–75–75 de antes es 2 * r * sin (15) sumando las dos patas cortas de los triángulos de 90 grados en los que lo dividimos.

Entonces, nuestra área será un cuadrado con una longitud lateral de 2 * r * sin (15) (azul claro, debajo), más 4 * el área de la región amarilla.

A = 4 * r ^ 2 * sin ^ 2 (15) + 4 * (pi / 12 – cos (15) * sin (15)) * r ^ 2

A = 4 * r ^ 2 * (pi / 12 + sin ^ 2 (15) – cos (15) sin (15))

Identidad de activación: sin ^ 2 (a / 2) = (1 – cos (a)) / 2 → sin ^ 2 (15) = (1 – cos (30)) / 2 = 1/2 – sqrt (3) / 4 4

Identidad de activación: cos (a / 2) sin (a / 2) = 1/2 * sin (a) → cos (15) sin (15) = 1/2 * sin (30) = 1/4

A = 4 * r ^ 2 * (pi / 12 + 1/2 – sqrt (3) / 4 – 1/4) = 4 * r ^ 2 * (pi / 12 + 1/4 – sqrt (3) / 4 )

A = r ^ 2 * (pi / 3 + 1 – sqrt (3)) ~ 0.31515 r ^ 2

Answer 3

Mira el diagrama a continuación:

Es fácil demostrar que [matemáticas] \ angle BAC = \ angle EAD = 30 ^ o = \ angle CAD [/ math] (sugerencia: deje caer una perpendicular de [math] C [/ math] a [math] AB [/ math ]. Esto es la mitad de tiempo que [math] AC [/ math]).

El área del sector [matemática] ACD [/ matemática] es entonces un tercio de cualquiera de los cuartos de círculo.

Usando un poco de trigonometría, podemos decir que el área de [matemáticas] \ displaystyle \ bigtriangleup ACD = AC ^ 2 \ sin {15 ^ o} \ cos {15 ^ 0} = \ frac {1} {2} AC ^ 2 \ sin {30 ^ o} [/ matemáticas]. Además, la longitud de [math] CD = 2AC \ sin {15 ^ o} \ implica [/ math] área de [math] \ displaystyle \ bigtriangleup CDF = AC ^ 2 \ sin ^ 2 {15 ^ o} = \ frac {1} {2} AC ^ 2 (1 – \ cos {30 ^ o}) [/ math].

Ahora, simplemente calculamos el área de la región amarilla como sector [matemáticas] \ displaystyle ACD – \ bigtriangleup ACD + \ bigtriangleup CDF = \ frac {\ pi r ^ 2} {12} + \ frac {1} {2} r ^ 2 (1 – \ sin {30 ^ o} – \ cos {30 ^ o}) [/ math], donde [math] AC = r [/ math], el radio de los cuartos de círculo.

La región sombreada requerida en el diagrama original es solo cuatro veces mayor y, por lo tanto, es igual a [matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ pi r ^ 2} {3} + 2r ^ 2 (1 – \ sin {30 ^ o } – \ cos {30 ^ o}) [/ math].

Answer 4

EDITAR:

Esta respuesta es incorrecta. Olvidé algo, tratando de arreglarlo.

Suponga que el lado del cuadrado es 1

Es fácil saber que este es un gráfico simétrico.

Podríamos encontrar que x se superpone tres veces (una por cuadrado, dos por sectores), y se superpone cuatro veces (una por cuadrado, tres por sectores) y z se superpone cinco veces (por el cuadrado y todos los sectores).

Para el cuadrado, su área es 1, luego 4x + 4y + z = 1 ……. (1)

Para cualquiera de los sectores, su área es pi / 4 y luego 2x + 3y + z = pi / 4 …………… .. (2)

Para TODOS los cuatro sectores y el cuadrado, el área total es 1 + pi / 4 * 4,

Entonces tenemos: 4 * 3x + 4 * 4y + 5z = 1 + pi ………… .. (3)

Resuelve este conjunto de ecuaciones

z = pi / 2-1

Espero que esto ayude.

Answer 5

Estoy asumiendo que:

• el área sombreada se compone de cuatro formas de igual área
• las curvas visibles en el gráfico son realmente solo segmentos de un círculo centrado en una esquina de la imagen

Ahora podemos encontrar el área sombreada total al encontrar el área sombreada en solo uno de los cuadrantes y multiplicar por cuatro.

Probablemente sea más fácil resolver el área de la forma sombreada en el cuadrante 1 (arriba a la derecha).

Para hacer esto, necesita saber:

• La función del círculo cuyo centro está en la esquina inferior izquierda de la imagen.
• el valor x en el que esta función se cruza con el eje x (definiré arbitrariamente este valor como [math] g [/ math])

• para encontrar [math] g [/ math], establezca la función igual a [math] 0 [/ math] y resuelva el valor x

Ahora puede integrar de [matemática] x = 0 [/ matemática] a [matemática] x = g [/ matemática], lo que arrojará el valor de un cuarto del área sombreada total. Todo lo que tienes que hacer es multiplicar por cuatro, y tienes el valor final.