¿Cómo se puede probar la ley de paralelogramo?

Answer 1

Hay numerosas formas de ver esta pregunta. Depende de cuáles sean sus axiomas / definiciones.

1. Alguna literatura define la suma de vectores usando la ley de paralelogramo. Esto es algo bastante natural si piensas en términos de la adición de vectores de desplazamiento.
2. Por otra parte, hay libros que toman la ley del triángulo como la definición. Derivar la ley del paralelogramo de la ley del triángulo es trivial.
3. Ciertos libros introducen a sus lectores vectores como compuestos por sus componentes x e y en el sistema de coordenadas rectilíneo. La suma de los dos vectores se define entonces como un vector cuyas componentes x e y son las sumas de las componentes x e y de los dos vectores, respectivamente. En este caso, tiene sentido hablar sobre probar la ley de paralelogramo de la suma de vectores. La prueba es la siguiente:

Tenga en cuenta que lo anterior es una prueba de la ley del triángulo. Pero la ley del paralelogramo es un corolario directo de esto.

Answer 2

Supongo que quieres decir que estás hablando de geometría euclidiana. Si es así, entonces se puede probar.
Divide el paralelogramo en dos triángulos congruentes, luego usa la ley de los cosenos para encontrar la hipotenusa de cada triángulo (que son las diagonales del paralelogramo). Puedes hacer el resto.

Answer 3

Depende de si nos estamos restringiendo o no a la geometría euclidiana. Si lo somos, entonces ciertamente podemos. Se hace con bastante facilidad separando el paralelogramo en triángulos congruentes y luego aplicando la ley de cosenos (lo dejo para que lo haga como ejercicio).

Si no nos limitamos a la geometría euclidiana, no necesariamente. Suceden muchas cosas locas en la geometría no euclidiana, por lo que la ley del paralelogramo no se puede probar porque no es necesariamente cierto.

Answer 4

Esto aparece en el libro de Álgebra lineal de Hoffman-Kunze como un ejercicio:

Sea V un espacio vectorial real o complejo con un producto interno. Demuestre que la forma cuadrática determinada por el producto interno satisface la ley de paralelogramo.

|| a + b || ^ 2 + || ab || ^ 2 = 2 || a || ^ 2 +2 || b || ^ 2

Simplemente desarrolle ambos lados usando el producto interno y compárelos: si es un estudiante graduado, debería poder hacer estos cálculos.