¿Por qué la fórmula para el área de superficie de una esfera [matemática] 4 \ pi r ^ 2 [/ matemática], y por qué es el volumen [matemática] \ frac {4} {3} \ pi r ^ 3 [/ matemática]?

Answer 1

Consideramos un círculo de radio R. La superficie de una esfera puede considerarse que consiste en una gran cantidad de cintas. Una de esas cintas se muestra a continuación. El área de abcd es [math] (2 \ pi R \ sin \ theta) (Rd \ theta) [/ math]. El área de la esfera es igual a la suma de las áreas de las cintas que es [matemática] \ int_ {0} ^ {\ pi} [/ matemática] [matemática] (2 \ pi R \ sin \ theta) (Rd \ theta) = 4 \ pi R ^ {2}. [/ math]

Para calcular el volumen, consideramos una esfera sólida que puede considerarse que consiste en una gran cantidad de capas esféricas. Una de esas carcasas tiene un radio r y un grosor dr. Su volumen es [matemática] 4 \ pi r ^ {2} dr [/ matemática]. El volumen de la esfera sólida de radio R es entonces [matemática] \ int_ {0} ^ {R} 4 \ pi r ^ {2} dr = \ frac {4} {3} \ pi R ^ {3} [/ matemáticas].

Answer 2

Porque el volumen de una esfera es la integral de su área de superficie. La integral de una función es igual a (n / n + 1) x ^ n + 1. Esta es también la razón por la cual la circunferencia de un círculo es 2 * pi * r y el área es pi * r ^ 2.

En cuanto a por qué el área de superficie es igual a 4 * pi * r ^ 2, imagine un círculo bidimensional en un plano tridimensional; solo dos dimensiones deberían usarse en este momento. La ecuación actual de la circunferencia de este círculo es 2 * pi * r. Luego, gire este rastro de un círculo bidimensional alrededor de la tercera dimensión. Esencialmente lo has multiplicado nuevamente por un radio de 2 * pi * r. Esto nos lleva a una ecuación de (2 * pi * r) ^ 2 = 4 * pi * r ^ 2

Answer 3

Creo que la mejor manera es hacerlo de la manera en que lo hicieron los matemáticos antiguos, sin embargo, implica un procedimiento similar al cálculo. Como sigue:

Envuelva una hoja rectangular alrededor de la esfera para que rodee exactamente la circunferencia. Esto hace que la dimensión horizontal del rectángulo [matemática] pi * d [/ matemática] ([matemática] d [/ matemática] represente el diámetro de la esfera). La dimensión vertical de la hoja que necesita para llegar a la altura de la esfera, es decir, [math] d [/ math].

Ahora proyectamos la superficie de la esfera en la hoja, de forma similar a una proyección de Mercator desde la geografía, pero no es lo mismo (estrictamente hablando, la proyección se llama proyección cilíndrica horizontal). Oriente la esfera como la Tierra con el Norte en la parte superior.

Considere cada arco de la esfera, que se proyectará sobre la hoja circundante, como un paralelo de latitud (también desde la geografía). El radio del paralelo de la latitud en términos del radio de la esfera es (que denota el ángulo de latitud como t grados)

r = Rcos (t) .. (1)

donde r es el radio del paralelo de la latitud.

Cuando la pequeña longitud del arco se proyecta sobre la hoja y se barre alrededor de 360 ​​grados, un área de 2pi.Rcos (t) (= 2pi.r) multiplicado por la longitud del arco (digamos, dR) se proyecta sobre la hoja plana. Cuando parte de un arco circular se proyecta sobre una hoja plana de esta manera, la longitud en la hoja es dRcos (t). Esta longitud se barre a lo largo de la longitud de la hoja, que es 2.pi.R. Pero recuerde de la ecuación anterior (1), que

R = r / (cos (t))

y entonces el área de proyección en la hoja es

2.pi. (r / cos (t)). dRcos (t)

es decir, el cos (t) s se cancela, dejando

2.pi.r.dR

Todas las pequeñas longitudes de arco, dR, se suman del polo sur al polo norte. En resumen, el área de la esfera es igual al área de la hoja rectangular, que se establece en 2.pi.R multiplicado por 2R, lo que equivale, por supuesto, a 4.pi.R ^ 2.

Para obtener el volumen de una esfera en la forma en que lo hicieron los antiguos matemáticos, eso no es cálculo, siga leyendo:

Imagina la esfera con una cuadrícula dibujada en su superficie. Los cuadrados de la cuadrícula se pueden hacer tan pequeños como quieras. Cada cuadrado en la superficie puede ser tratado como la base de una pirámide cuadrada con su vértice en el centro de la esfera. El volumen de esta pirámide elemental es 1/3 del área de la base por su altura perpendicular, que es el radio de la esfera (r). Ahora imagine que la esfera se abre de tal manera que su área de superficie se coloca plana. Las pirámides de volumen se retienen por encima de sus bases. Entonces, lo que tenemos ahora es un área de 4.pi.r ^ 2 con un bosque de pirámides muy delgadas de altura r, igualmente espaciadas en el área, que por supuesto es 4.pi.r ^ 2. El volumen de todas estas pirámides es 1/3. Área de la base por la altura r, o

4.pi.r ^ 2. (1/3) .r = 4 / 3.pi.r ^ 3.

Answer 4

Hay fórmulas para encontrar

• Área [matemáticas] \ displaystyle \ int_a ^ bf (x) dx [/ matemáticas]
• Volumen [math] \ displaystyle \ int_a ^ b \ pi f ^ 2 (x) dx [/ math]
• Longitud del arco [matemática] \ displaystyle \ int_a ^ b \ sqrt {1+ (f ‘(x)) ^ 2} dx [/ matemática]
• Área de superficie [matemática] \ displaystyle \ int_a ^ b 2 \ pi f (x) \ sqrt {1+ (f ‘(x)) ^ 2} dx [/ math]

A partir de eso, podemos encontrar lo anterior. Comentame si necesitas derivación completa.

Gracias

Answer 5

El área es una medida de extensión o espacio libre disponible o confinado con un cierto límite llamado perímetro. La unidad de área es L ^ 2 o en unidades cuadradas. Esta área podría ser una superficie plana en dos dimensiones como se dibuja en papel. O, el área podría estar en tres dimensiones como un objeto en el espacio. Dado que el área en el espacio está en todas las direcciones, se denomina área de superficie. La unidad del área de superficie es nuevamente L ^ 2 o en unidades cuadradas.

El volumen es una medida de extensión o espacio libre disponible o confinado con un cierto límite llamado superficie. La unidad de volumen es L ^ 3 o en unidades cúbicas. Este volumen tiene tres dimensiones.

Una esfera es un objeto en tres dimensiones. Por lo tanto, tiene un área de superficie y volumen. Como hay cierta curvatura involucrada, y no una línea recta en ningún lado, necesitamos introducir (pi) como uno de los parámetros para obtener el área de superficie o el volumen de una esfera. Los matemáticos de antaño han calculado el área de superficie o el volumen de una esfera en términos de su radio, por lo que tienen las fórmulas para el área de superficie como 4 (pi) r ^ 2 y el volumen como (4 * pi / 3) r ^ 3)

Answer 6

Todas las respuestas que he visto han usado el cálculo para derivar las ecuaciones. Esto tiene sentido porque el cálculo es la forma más fácil y directa de obtener sus dos ecuaciones. Pero me imagino que si ya conocieras Cálculo no harías la pregunta, que ya habría surgido. ¡Ahora, para mí, eso significa que tienes una gran razón para aprender Cálculo! Pero mientras tanto, puede interesarle saber que la gente descubrió las respuestas a estas preguntas más de mil años antes de que se inventara el cálculo.

Mi maestro de geometría de la escuela secundaria me enseñó, así que me emocioné mucho y comencé a escribir la prueba para ti aquí, pero rápidamente aprendí que la escuela secundaria fue hace mucho tiempo para mí (el tiempo suficiente como para aprender a usar una regla de cálculo) ) y estaba dando vueltas tratando de recordar. Bueno, supongo que eso debería ser una pista para repasar mis habilidades de geometría, pero me sentía un poco flojo. Entonces, busqué en estas nuevas interfases intercaladas y encontré un par de excelentes animaciones que creo que podrían ayudarte a conceptualizar lo que está sucediendo.

Aquí hay un video de dos partes, elaborado por Gary Rubenstien sobre cómo Arquímedes resolvió el problema del área de la esfera:

Arquímedes también tenía una prueba geométrica del volumen de la esfera, de la que yo estaba tambaleándome y de manera similar perezosa. Pero el mismo tipo, Gary Rubinstein, tenía una animación sobre un segundo método de Arquímedes con el que no estaba familiarizado (¡Todos ustedes, geeks matemáticos, ahora pueden reírse de mí y de mis formas de aficionado, pero ustedes tampoco lo mostraron!) . Pensé que era genial y podría ayudar con lo que estás buscando.

Entonces, espero que te ayude a conceptualizar un poco el problema.

Llévate mensajes a casa:

Primero, el cálculo es genial y hace que muchas cosas sean mucho más fáciles. ¡Aprenderlo!

En segundo lugar, a menudo hay muchas formas de usar las matemáticas para encontrar respuestas. Ayuda a aprender tantos como sea posible. Te hace más flexible y obtienes más perspectiva y una comprensión más profunda.

Tercero, hay conocimiento de matemáticas y enseñanza de matemáticas. En la actualidad, hay tantos maestros excelentes en la Web que a menudo me encuentro mirando temas que conozco muy bien solo porque el enfoque es nuevo y me ayuda a entenderlo mejor. Eso ayuda con la diversión de las matemáticas o las ciencias, pero también ilustra la importancia de la enseñanza.

Cuarto, solo porque tu viejo y olvidado material no significa que no valga la pena volver a visitar el tema, recuperar algo de esa vieja alegría de descubrir y llevarlo de vuelta a la parte activa de tu cerebro. ¡Gracias por hacer la pregunta y hacer eso por mí!

Answer 7

Esas fórmulas no son solo mágicas, son la solución a la integral de la esfera. Nota al margen, el griego Arquímedes fue el primero en darse cuenta de que el volumen de una esfera era 2/3 del volumen de un cilindro.

Por lo tanto:

[matemáticas] V = \ frac {2} {3} h * A (base) \ Rightarrow V = h * (\ pi * r ^ {2}) \ Rightarrow V = \ frac {2} {3} (2r) (\ pi * r ^ {2}) \ Rightarrow V = \ frac {4} {3} \ pi * r ^ {3} [/ math]

Answer 8

La derivada del volumen de una esfera es igual al área de superficie de la esfera. Así:
[matemáticas] dV / dr = A [/ matemáticas]

o, la derivada del volumen, en relación con el radio, es igual al Área

http://citeseerx.ist.psu.edu/vie …