¿Cuántas caras tendría un politopo compuesto por caras octogonales, si solo tres caras se encuentran en cada vértice? Eso tiene un nombre?

Answer 1

Si intenta construir un poliedro (politopo 3d) con solo octágonos, 3 a un vértice, con género 0, necesitará un número infinito de octágonos. Si desea que todos los octágonos sean congruentes, deberá trabajar en el plano hiperbólico (es posible enlosar el plano hiperbólico con octágonos regulares).

Si está abierto a la idea de los poliedros toroidales, entonces podemos ver qué género puede permitir una solución con un número finito de octágonos.

La ecuación de Euler para el número de caras, aristas, vértices y el género de un poliedro es
[matemáticas] v – e + f = 2 – 2g [/ matemáticas]

Como los octágonos tienen 8 aristas y cada arista es compartida por 2 octágonos, tenemos
[matemáticas] e = 4f [/ matemáticas]

Dado que los octágonos tienen 8 vértices, y cada vértice es compartido por 3 octágonos, tenemos
[matemáticas] v = 8f / 3 [/ matemáticas]

Sustituyendo …
[matemáticas] (8/3 – 4 + 1) f = 2 – 2g [/ matemáticas]

Simplificando …
[matemáticas] -f / 3 = 2 – 2g [/ matemáticas]

Resolviendo para g…
[matemáticas] g = 1 + f / 6 [/ matemáticas]

Entonces, el número de caras debería ser un múltiplo de 6 y tendría un agujero más un agujero adicional por cada 6 caras. Con solo 6 caras, tendrías que tener algunos pares de octágonos que compartan más de un borde, lo cual es posible para caras no convexas.

Puede que no haya una solución para cada valor de g, pero es casi seguro que haya una solución para algún valor positivo de g.

En una nota al margen, hay un poliedro toroidal que consta de 8 hexágonos irregulares.
Hace un tiempo planteé un desafío para que la gente encontrara tal poliedro, y luego proporcioné mi propia solución …
¿Puedes construir un poliedro con exactamente 8 caras, cada una de ellas un hexágono irregular?