Sería un buen resultado. Funciona para pentágonos y hexágonos. Desafortunadamente falla para los septagones. Aquí dos formas de triangular un septagon.
En el primero, la suma de las áreas verdes = 0.29 + 0.82 + 0.29 = 1.4 y las áreas moradas es 0.66 + 0.66 = 1.32.
En el segundo, la suma de las áreas verdes = 0.29 + 0.29 + 0.66 = 1.24 y las áreas moradas son 1.19 + 0.29 = 1.48.
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He escrito un poco de código para generar todas las diferentes triangulaciones posibles. Puedes verlo en Triángulos alternativos: JSFiddle. Funciona hasta 9 vértices, después de eso, los combinics se vuelven un poco lentos. Se eliminan algunas triangulaciones que son solo rotaciones de otras.
Si bien está claro que estamos recibiendo diferentes áreas. Podemos proponer una conjetura diferente
Si la triangulación es tal que cada triángulo tiene al menos un borde en el límite de las sumas de áreas de triángulos alternos, no depende de la triangulación.
Entonces, para 7 vértices tenemos áreas rojas de 1.41 y áreas verdes 0f 1.32.
Para 8 vértices, tanto el rojo como el verde tienen área 1.41.
No estoy 100% seguro de esta conjetura, pero una discusión es un poco así.
Elija alguna triangulación de base [matemática] T_0 [/ matemática], por ejemplo aquella en la que todos los triángulos tienen un vértice en común (el último en la imagen de arriba).
Necesitamos mostrar que cualquier triangulación puede transformarse en T_0. La transformación básica que somos nosotros es:
- corta el polígono a lo largo de un borde interno;
- reflejar la mitad del polígono a lo largo de la bisectriz perpendicular del borde
- une las dos mitades
Así es como se aplica a una triangulación de 8 vértices.
En cada paso, aumenta el número de triángulos adyacentes de un vértice al final del borde. El último paso es simplemente poner la configuración en el patrón [math] T_0 [/ math].
Creo que deberías poder hacer esta transformación a cualquier triangulación que satisfaga la condición de que todos los triángulos con un borde en los bordes del polígono. Como la transformación en realidad no cambia la forma de ningún triángulo, no cambiará las sumas de áreas alternativas.
Podemos hacer una transformación similar a otras configuraciones. Dando un conjunto de clases para cada número de vértices. Los elementos canónicos de estas clases están debajo
Cualquier triangulación se puede transformar en una de estas clases.