La base de un triángulo isósceles es de 6 pies dado que la altitud es de 4 pies y aumenta a una velocidad de 2 pulgadas por minuto, ¿a qué velocidad es el vértice?

Answer 1

Esto se puede hacer tanto analítica como geométricamente. La solución analítica es fácil: toma cualquiera de las proporciones trigonométricas que involucran la mitad del ángulo del vértice y la altitud y la diferencia con respecto al tiempo usando la regla de la cadena. Vea el diagrama a continuación:

Deje [math] \ angle BAD = x [/ math]. Entonces,

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} (\ cot {x}) = \ frac {1} {3} \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} (AD) [/ matemáticas].

Supongo que puedes tomarlo desde allí. Solo recuerde que [matemática] \ displaystyle \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} (\ angle BAC) = 2 \ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t} [/matemáticas]

La solución geométrica merece alguna consideración. Supongamos que en el tiempo [math] \ mathrm {d} t [/ math], el punto [math] A [/ math] se mueve al punto [math] A ‘[/ math] causando [math] \ angle BAD [/ math] a cambiar por [math] \ mathrm {d} x [/ math]. Entonces, esto es numéricamente igual al cambio en [math] \ angle DBA [/ math], ya que debe ser que

[matemática] \ angle BAD + \ angle DBA = \ angle BA’D + \ angle DBA ‘= 90 ^ o [/ math].

Tenemos, [math] EA = 5 \ mathrm {d} x \ text {ft} = AA ‘\ sin (\ angle BAD) [/ math]. Pero

[math] \ displaystyle AA ‘= \ mathrm {d} t \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} (AD) = \ frac {\ mathrm {d} t} {6} \ text {ft / min}. [/ math]

Puede encontrar fácilmente [math] \ displaystyle \ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t} [/ math] a partir de esto.