Este me ha estado royendo todo el día. No entendí bien la otra respuesta, y ahora los detalles se han ido.
Me gusta este problema porque parece haber algunas formas de abordarlo. El problema es casi simétrico entre [matemática] x, h [/ matemática] y [matemática] y, k [/ matemática], a excepción de [matemática] 2k [/ matemática]. Lo mantendré simétrico y general hasta el final, porque la simetría me ayuda a notar errores.
En mis notas parece que volví a anotar el problema en [math] u, v [/ math] space, usando [math] r [/ math] como radio del círculo y [math] c [/ math] en una versión de la ecuación lineal. Permítanme repetir el problema en mi notación:
¿Cuál es la condición para que en [matemáticas] u, v [/ matemáticas] espacie las dos líneas desde el origen hasta las intersecciones de [matemáticas] ku + hv = 2k [/ matemáticas] y [matemáticas] (uh) ^ 2 + (vk) ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas] son perpendiculares?
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El plan es primero resolver el problema general de la intersección de una línea y un círculo alrededor del origen, y generalizar eso traduciendo el círculo de modo que su centro sea [matemáticas] (h, k) [/ matemáticas]. Luego aplicamos la restricción de perpendicularidad a los dos puntos encontrados. Finalmente, conectamos los detalles de nuestro problema particular para obtener la condición.
Antes de profundizar demasiado, revisemos un resultado que necesitaremos más adelante sobre la perpendicularidad de las líneas a través del origen. Considere un punto en cada línea como un vector. Cuando el producto escalar de dos vectores es cero, los vectores son perpendiculares. Podemos considerar [math] (x_1, y_1) [/ math] como el vector desde el origen hasta ese punto; de manera similar para [math] (x_2, y_2) [/ math]. Esos son perpendiculares cuando el producto escalar [matemáticas] x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0 [/ matemáticas], lo suficientemente simple.
Ahora intersequemos una línea general [matemática] ax + por = c [/ matemática] con un círculo centrado en el origen [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2. [/ Matemática] Obtenemos una ecuación cuadrática, entonces generalmente dos puntos de intersección.
[matemáticas] (hacha) ^ 2 = (c-by) ^ 2 = c ^ 2 + b ^ 2y ^ 2-2bcy [/ matemáticas]
[matemáticas] a ^ 2 r ^ 2 = a ^ 2 x ^ 2 + a ^ 2 y ^ 2 = c ^ 2 + b ^ 2y ^ 2-2bcy + a ^ 2 y ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] (a ^ 2 + b ^ 2) y ^ 2 – 2bcy + (c ^ 2-a ^ 2r ^ 2) = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] y = \ dfrac {bc \ pm \ sqrt {b ^ 2c ^ 2 – (a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2-a ^ 2r ^ 2)}} {a ^ 2 + b ^ 2 }[/matemáticas]
Deje [math] s = a ^ 2 + b ^ 2 [/ math] y enfóquese en el discriminante:
[matemáticas] b ^ 2c ^ 2 – (a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2-a ^ 2r ^ 2) = a ^ 2 [(a ^ 2 + b ^ 2) r ^ 2-c ^ 2 ] = a ^ 2 (sr ^ 2-c ^ 2 [/ matemática] [matemática]) = a ^ 2d [/ matemática]
donde [matemáticas] d = sr ^ 2-c ^ 2 [/ matemáticas]. Como tenemos [math] \ pm [/ math] podemos extraer [math] a ^ 2 [/ math] del radical sin preocuparnos por el signo de [math] a [/ math]:
[matemáticas] y = \ dfrac {1} {s} (bc \ pm a \ sqrt {d}) [/ matemáticas]
Las constantes [matemáticas] s [/ matemáticas] y [matemáticas] d [/ matemáticas] permanecen iguales cuando intercambia [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas]. Por simetría podemos simplemente escribir [matemáticas] x = \ dfrac {1} {s} (ac \ pm b \ sqrt {d}) [/ matemáticas]
Necesitamos [math] ax + by = c [/ math] para poder ver los signos en [math] \ pm [/ math] para [math] x [/ math] y [math] y [/ math] tiene que ser opuesto Escribamos nuestros dos puntos como
[matemáticas] (x, y) = \ frac {1} {s} [c (a, b) \ pm \ sqrt {d} (b, -a)] [/ matemáticas]
Esa es la intersección de una línea y un círculo alrededor del origen. Cambiemos el centro del círculo a [matemáticas] (h, k) [/ matemáticas] en el plano [matemáticas] u, v [/ matemáticas] mediante la transformación [matemáticas] u = x + h, v = y + k [/ math], entonces [math] x = uh, y = vk. [/ math] Nuestro círculo [math] x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 [/ math] ahora es [math] (uh) ^ 2+ (vk) ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas]. Nuestra línea es:
[matemáticas] a (uh) + b (vk) = c [/ matemáticas]
[matemáticas] au + bv = ah + bk + c = e [/ matemáticas]
Introdujimos [math] e [/ math] como la constante para nuestra línea en el plano [math] u, v [/ math]. Es fácil calcular [matemáticas] c = e-ah-bk [/ matemáticas] y podemos traducir nuestra solución desde el círculo centrado en el origen:
[matemáticas] (u, v) = (h, k) + (x, y) = (h, k) + \ dfrac {1} {s} [c (a, b) \ pm \ sqrt {d} ( b, -a)] [/ matemáticas]
Expandamos las constantes solo para tener la fórmula para la intersección de [math] ku + hv = e [/ math] y [math] (uh) ^ 2 + (vk) ^ 2 = r ^ 2: [/ math]
[matemáticas] (u, v) = (h, k) + \ dfrac {(a, b) (e-ah-bk) \ pm (b, -a) \ sqrt {(a ^ 2 + b ^ 2) r ^ 2- (e-ah-bk) ^ 2}} {a ^ 2 + b ^ 2} [/ matemáticas]
Así que ahora hemos encontrado nuestros puntos de intersección de un círculo general con una línea cuya pendiente depende del centro del círculo. Para que los rayos desde el origen hasta esos puntos sean perpendiculares, necesitamos que el producto escalar de los dos puntos de intersección [matemática] (u_1, v_1) [/ matemática] y [matemática] (u_2, v_2) [/ matemática] sea cero. Multipliquemos por [matemáticas] s ^ 2 [/ matemáticas] para deshacernos de la fracción:
[matemáticas] s ^ 2 u_1 u_2 = (hs + ac + b \ sqrt {d}) (hs + ac – b \ sqrt {d}) = h ^ 2s ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + 2achs -b ^ 2d [/ matemáticas]
[matemáticas] s ^ 2 v_1 v_2 = (ks + bc – a \ sqrt {d}) (ks + bc + a \ sqrt {d}) = k ^ 2s ^ 2 + b ^ 2c ^ 2 + 2bcks -a ^ 2d [/ matemáticas]
La suma de esos debe ser cero para la perpendicularidad:
[matemáticas] 0 = h ^ 2s ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + 2achs – b ^ 2d + k ^ 2s ^ 2 + b ^ 2c ^ 2 + 2 bcks -a ^ 2d [/ matemáticas]
[matemáticas] = (c ^ 2-d) (a ^ 2 + b ^ 2) + s ^ 2 (h ^ 2 + k ^ 2) + 2cs (ah + bk) [/ matemáticas]
[matemáticas] = s (c ^ 2- (sr ^ 2-c ^ 2)) + s ^ 2 (h ^ 2 + k ^ 2) + 2cs (ah + bk) [/ matemáticas]
[matemáticas] = s [2c (c + ah + bk) + s (h ^ 2 + k ^ 2 – r)] [/ matemáticas]
[matemáticas] s = 0 [/ matemáticas] o [matemáticas] s = \ dfrac {-2ce} {h ^ 2 + k ^ 2 – r ^ 2} [/ matemáticas]
La condición [matemática] s = 0 [/ matemática] significa [matemática] a = b = 0 [/ matemática] para que no tengamos una línea y podamos ignorarla. La otra solución es la solución general para la perpendicularidad de los rayos de origen a los puntos donde una línea se cruza con un círculo.
Enchufemos nuestra línea particular. Tenemos [matemáticas] a = k, b = h, e = 2k [/ matemáticas]. Esto significa [matemática] c = 2k-kh-hk = 2k (1-h). [/ Matemática] Conectarse a [matemática] s [/ matemática] anterior significa que nuestra condición es:
[matemáticas] (h ^ 2 + k ^ 2) (h ^ 2 + k ^ 2 – r ^ 2) = 8k ^ 2 (h-1) [/ matemáticas]
Esto podría resolverse para [math] r [/ math] en función de [math] h [/ math] y [math] k [/ math].
No tengo idea si esto es correcto, y estoy demasiado cansado para pensar en verificarlo ahora mismo.
Unas pocas horas después. Esto era mucha matemática. Estoy seguro de que hay una forma más rápida de hacerlo, pero no lo sé. ¿Qué tal un mal voto si lees hasta aquí?
Resolvamos para [math] r ^ 2 [/ math]:
[matemáticas] r ^ 2 = (h ^ 2 + k ^ 2) – \ dfrac {8k ^ 2 (h-1)} {h ^ 2 + k ^ 2} [/ matemáticas]
Bueno. Eso siempre es positivo, por lo que para una [matemática] h [/ matemática] y [matemática] k [/ matemática] dada que forman una línea, hay exactamente un círculo que se ajusta.
Probemos [matemáticas] h = k = 2. [/ matemáticas] Obtengo [matemáticas] r ^ 2 = 8-8 (4) (1) / 8 = 4 [/ matemáticas].
Trabajando a través de este ejemplo, tenemos [matemáticas] a = k = 2 [/ matemáticas], [matemáticas] b = h = 2 [/ matemáticas], [matemáticas] r = 2 [/ matemáticas], [matemáticas] e = 2k = 4 [/ matemáticas], [matemáticas] s = h ^ 2 + k ^ 2 = 8 [/ matemáticas], [matemáticas] c = e-ah-bk = 4-2 (2) -2 (2) = – 4 [/ matemáticas], [matemáticas] d = sr ^ 2-c ^ 2 = 8 (2 ^ 2) – (- 4) ^ 2 = 32-16 = 16 [/ matemáticas]
Nuestra línea es [matemática] 2u + 2v = 4, [/ matemática] es decir [matemática] u + v = 2 [/ matemática]. El círculo es [matemático] (u-2) ^ 2 + (v-2) ^ 2 = 2 ^ 2 [/ matemático], un círculo de radio [matemático] 2 [/ matemático] centrado en [matemático] (2, 2) [/ matemáticas].
[matemáticas] (u, v) = (2,2) + \ dfrac {1} {8} [-4 (2,2) \ pm 4 (2, -2)] [/ matemáticas]
[matemáticas] (u, v) = (2 + -8 / 8 \ pm 8/8, 2 + -8 / 8 \ pm -8/8) = (1 \ pm 1, 1 \ pm -1) [/ matemáticas]
[matemáticas] (u, v) = (2,0) [/ matemáticas] y [matemáticas] (0,2) [/ matemáticas]. El círculo toca los ejes en [matemáticas] (0,2) [/ matemáticas] y [matemáticas] (2,0) [/ matemáticas]. Esos puntos también se encuentran en [matemáticas] u + v = 2 [/ matemáticas]. Los ejes forman un ángulo recto con el origen. [Matemática] \ \ \ \ marca de verificación [/ matemática]