Puede encontrarlo con lápiz y papel, sí, así es como se calcularon las primeras tablas de senos y cosenos (en realidad, creo que Napier puede haber usado un dispositivo de cálculo de su propio diseño, los ‘huesos’, pero eso fue solo para acelerar multiplicación). Le llevará mucho tiempo y será bastante aburrido, pero se puede hacer. Cuando era estudiante, usábamos tablas impresas de senos y cosenos, ¡incluso eso sería mejor que calcularlo a mano!
Aquí hay un ejemplo. Supongamos que le digo que la relación entre uno de los lados y la hipotenusa es 3/4, y le pido que calcule el tamaño del ángulo opuesto al lado en cuestión. Hay una fórmula para el arcoseno, puede encontrarla en Expansiones de funciones trigonométricas inversas de la serie Taylor, pero quiero darle un esquema de cálculo que lo haga un poco más fácil de hacer a mano.
Primero, nos referiremos a esa relación de 3/4 como x. Voy a explicar cómo calcular aproximaciones sucesivas al valor del ángulo.
Su primera aproximación es el valor x en sí mismo; en este caso, 3/4
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El término de enésima corrección requiere que calcules (2n-1), que lo cuadre y luego lo dividas por el producto de 2n y (2n + 1). Multiplique el resultado por el cuadrado de x (es decir, 9/16), y finalmente multiplíquelo por el valor de la corrección anterior (la primera “corrección” es solo esa primera aproximación, x). Tome nota de ese valor. En otra columna, mantenga un total acumulado, es decir, la suma de la primera aproximación y todas las correcciones hasta el momento.
Entonces, la primera corrección es (1 * 1) / (2 * 3) * 9/16 * 3/4 = 9/128 (aproximadamente 0.0703)
Y la segunda corrección es (3 * 3) / (4 * 5) * 9/16 * 9/128 = 729/40960 (aproximadamente 0.0178)
Cuando esté contento de que las nuevas correcciones sean lo suficientemente pequeñas como para que no contribuyan con cantidades valiosas para el cálculo, puede detenerse.
Por supuesto, su respuesta estará en radianes. Si lo quieres en grados, debes terminar multiplicando por 180 y dividiendo por pi. Si prefiere trabajar con fracciones, puede multiplicar por 164267 y dividir por 2867, aunque 4068/71 probablemente sea lo suficientemente bueno.
Simulando este proceso en una hoja de cálculo, observo que si desea una precisión del 99.9% (que no es lo suficientemente buena para aplicaciones de ingeniería, pero ilustrará un punto importante), la cantidad de aproximaciones que debe calcular dependerá de su x inicial. De x = 0 a x = 0.08, la primera aproximación será suficiente. Para 0.08 <x <0.33, un término de corrección hará el trabajo, y para x entre 0.33 y 0.51, necesitará dos términos de corrección. Entonces las cosas comienzan a escalar bastante rápido. Para nuestro ejemplo de x = 3/4, necesitará 5 términos de corrección (y encontrará que la respuesta es 48.59 grados). x = 0.9 necesita 13 términos de corrección, y x = .99 necesita 61.
Calcular incluso 5 términos de corrección y sumarlos todos juntos llevaría mucho tiempo. No voy a intentarlo, pero si decides hacerlo, tal vez puedas cronometrarte y hacérnoslo saber.
Entonces, sí, puedes hacerlo. Pero una calculadora sería mejor.