¿Por qué no puede un teselado octágono regular?

Para que un polígono regular pueda teselar, cada uno de sus ángulos interiores [matemática] x [/ matemática] debe ser un factor de [matemática] 360 ^ \ circ [/ matemática]. Cuando esto sucede, puede colocar [math] k = \ dfrac {360} {x} [/ math] de estas formas regulares reunidas en un solo punto; terminarás con un ángulo ordenado [matemático] 360 ^ \ circ [/ matemático] en este punto, y las formas se teselarán. Esto no sucederá si los ángulos interiores del polígono regular no se dividen [matemática] 360 ^ \ circ [/ matemática] de manera uniforme.

Ahora el ángulo interior de un polígono regular que tiene lados [matemáticos] [/ matemáticos] es [matemático] 180 ^ \ circ- \ dfrac {360 ^ \ circ} {s} [/ matemático]. Requerimos que este número sea un factor de [math] 360 ^ \ circ [/ math], entonces

[matemáticas] 180 ^ \ circ k \ left (1- \ dfrac {2} {s} \ right) = 360 ^ \ circ, \ quad k \ in \ mathbb {N} [/ math]

[matemáticas] 180 ^ \ circ k (s-2) = 360 ^ \ circ s [/ matemáticas]

[matemáticas] k (s-2) = 2s [/ matemáticas]

[matemáticas] k = \ dfrac {2s} {s-2}. [/ matemáticas]

Si sustituimos [math] t = s-2 [/ math], de modo que [math] s = t + 2 [/ math], obtenemos

[matemáticas] k = \ dfrac {2t + 4} {t} = 2 + \ dfrac {4} {t}, \ quad k \ in \ mathbb {N}. [/ math]

Por lo tanto, [matemática] t = 1, 2 [/ matemática] o [matemática] 4 [/ matemática], lo que significa que [matemática] s = 3, 4 [/ matemática] o [matemática] 6 [/ matemática].

Entonces, los únicos polígonos regulares que se teselan son triángulos equiláteros [matemática] (s = 3) [/ matemática], cuadrados [matemática] (s = 4) [/ matemática] y hexágonos regulares [matemática] (s = 6) [/ matemática ]

El par entre llaves entre cada diagrama es [math] \ {s, k \} [/ math].