Cómo demostrar que el área de un círculo es igual a [math] \ mathsf {\ pi r ^ 2} [/ math]

Answer 1

Esta es una buena pregunta. Me pregunto por qué nunca pensé en esto. Ahora, me llevó algo de tiempo llegar a esta explicación (que creo que es correcta).

Considere un círculo con origen O y radio r. Lógicamente, el área del círculo es la suma de las circunferencias de todos los círculos con el mismo centro ( O ) y radios que van desde 0 (cero) hasta r.

Para encontrar esta suma debemos integrar la circunferencia de un círculo de 0 a r.

Entonces area = [math] \ displaystyle \ int_0 ^ r 2 π r \, dr [/ math]

área = [matemáticas] \ frac {2πr ^ 2-2π 0 ^ 2} {2} [/ matemáticas]

área = [matemáticas] π r ^ 2 [/ matemáticas]

Y si solicita la prueba de circunferencia = 2πr, entonces

El ángulo total de un círculo en radianes es [matemática] 2π [/ matemática].

Un ángulo en radianes viene dado por [math] \ frac {arc length} {radius} [/ math].

Aquí, dado que hemos considerado el ángulo total, la longitud del arco es la circunferencia ( c ) del círculo.

Entonces ángulo = [matemáticas] \ frac {c} {r} [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 π [/ matemáticas] = [matemáticas] \ frac {c} {r} [/ matemáticas]

c = [matemáticas] 2 π r [/ matemáticas]

Toda imagen sujeta a derechos de autor:

1. Aviso de redireccionamiento (círculos concéntricos)
2. Aviso de redireccionamiento (ángulo en radianes)

Espero que esto sea útil.

Que tú 😀.

Answer 2

Se puede suponer un círculo como un polígono regular que tiene un número infinito de lados.
(¡Disculpas por la figura de mierda a continuación!)

El área del polígono de [math] \ displaystyle n [/ math] sides = [math] \ displaystyle n \ times \ text {Area of} \ triangle ABC [/ math]. (C es el centro del círculo)

Claramente, [math] \ displaystyle \ theta = \ frac {2 \ pi} {n} [/ math].
Se puede demostrar fácilmente que la base del triángulo es igual a [matemática] \ displaystyle 2r \ sin \ frac {\ pi} {n} [/ matemática] y la altura es igual a [matemática] \ displaystyle r \ cos \ frac {\ pi} {n} [/ matemáticas].

[matemáticas] \ displaystyle = n \ times \ frac {1} {2} \ times \ text {base} \ times \ text {height} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {n} {2} \ times r ^ 2 \ times 2 \ sin \ left (\ frac {\ pi} {n} \ right) \ cos \ left (\ frac {\ pi} {n} \ right) [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {n} {2} r ^ 2 \ cdot \ sin \ frac {2 \ pi} {n} [/ matemáticas]

Cuando [math] \ displaystyle n \ to \ infty [/ math], el polígono se convierte en círculo, por lo tanto,
el área del círculo =
[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {n} {2} r ^ 2 \ cdot \ sin \ frac {2 \ pi} {n} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {r ^ 2} {2} \ cdot \ frac {\ sin (2 \ pi / n)} {1 / n} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {r ^ 2} {2} \ cdot \ frac {\ sin (2 \ pi / n)} {2 \ pi / n} \ cdot 2 \ pi [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle = \ pi r ^ 2 [/ matemáticas] (QED)

Answer 3

En primer lugar, sabemos que el círculo es una sección cónica.

la ecuación de un círculo es x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2

y = ± √ [r ^ 2-x ^ 2]

Ahora imagine un círculo en un plano coordinado [XOX ‘; YOY’] con la coordinación A (r, 0); B (0, r); C (-r, 0); D (0, -r)

toma el primer cuadrante formado por el círculo.

El área de AOBA = ∫ [r, 0] ydx

= ∫ [r, 0] √ [r ^ 2-x ^ 2] dx [quad I no -ve]

= [x / 2√ [r ^ 2-x ^ 2] + a ^ 2.sin ^ (- 1) (x / a)] [r, 0]

= [(r / 2 * 0 + r ^ 2 / 2.sin ^ (- 1)) – 0]

= (r ^ 2/2) (π / 2)

= πr ^ 2/4

Ahora el área del círculo

= 4 * AOBA

= 4 * πr ^ 2/4

= πr ^ 2

Área de un círculo

Answer 4

Ahora, para demostrar que el área del círculo es πr ^ 2, hay un enfoque muy fácil y simple:

Primero considere un círculo de radio r.

Córtalo en sectores iguales. Un círculo dividido en muchos sectores se puede reorganizar aproximadamente para formar un paralelogramo.

Ahora, sabemos que la circunferencia del círculo es 2πr. Entonces, la mitad de 2πr será un lado del rectángulo y el otro lado será r.

Ahora sabemos que el área del rectángulo es longitud * anchura o l * b.

Entonces,

l * b = πr * r

que es πr ^ 2.

Entonces el área del círculo es πr ^ 2.

Con este método, puede demostrar fácilmente que el área del círculo es πr ^ 2. Este es el enfoque más simple para probar el área del círculo.

Espero eso ayude..