La geometría proyectiva tiene líneas paralelas. Esto se debe a que la geometría proyectiva es una proyección de geometría real, y que la proyección de paralelos reales son paralelos proyectivos. Como la geometría real es una geometría proyectiva, el efecto es el mismo.
En la geometría euclidiana, las ‘líneas paralelas’ se cruzan en el mismo punto en la ‘línea en el infinito’. En la forma ordinaria, la línea en el infinito está en el infinito, y las líneas paralelas tardan años en encontrarse. En líneas proyectivas, la línea en el infinito es una línea real, y las líneas paralelas se cruzan en el mismo punto en esta ‘línea en el infinito’.
Hay un tercer tipo de geometría euclidiana, que es una proyección que preserva los ángulos. En este caso, la línea en el infinito se dibuja alrededor de un punto (‘U’), y las líneas rectas son círculos que pasan por este punto. Entonces, cualquier círculo o línea a través de U es una línea recta, y si no contiene U, es un círculo. Los ángulos se conservan: es una proyección conforme, formada por una inversión (es decir, x -> 1 / x), en un círculo centrado en U.
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