Cómo encontrar todas las curvas cuya tangente arbitraria corta un segmento en la ordenada que es igual al cuadrado de la ordenada del punto de contacto

Answer 1

Necesitamos formar la ecuación diferencial para esto. Si la tangente toca la curva en el punto [matemáticas] (x, y) [/ matemáticas], entonces la tangente también debe pasar por el punto [matemáticas] (0, y ^ 2) [/ matemáticas]. La pendiente de la tangente es, por supuesto, [matemáticas] y ‘[/ matemáticas]. Escribimos la ecuación de la tangente como

[matemáticas] \ displaystyle y ‘= \ frac {y – y ^ 2} {x} [/ matemáticas]

Esto es entonces separable en variables. Tenemos:

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {\ mathrm {d} y} {y – y ^ 2} = \ int \ frac {\ mathrm {d} x} {x} [/ math]

Al integrar, obtenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ ln \ left | \ frac {y – 1} {xy} \ right | = C [/ matemáticas]

O, al exponer,

[matemáticas] y – 1 = kxy [/ matemáticas]

Así es como se ven las curvas correspondientes a [matemáticas] k = \ color {azul} {1}, \ color {rojo} {2}, \ color {verde} {3} [/ matemáticas].

Fuente del gráfico: graph.tk