¿Cuál es el valor de [matemáticas] n [/ matemáticas] si [matemáticas] A_1, A_2, …, A_n [/ matemáticas] sean los vértices de un polígono regular y [matemáticas] A_1A_2, A_2A_3, …, A_ {n-1 } A_n, A_nA_1 [/ math] sean sus lados [math] n [/ math] de manera que [math] \ frac {1} {A_1A_2} = \ frac {1} {A_1A_3} + \ frac {1} {A_1A_4} [/matemáticas]?

Answer 1

Considere el diagrama toscamente escrito arriba. Si [math] n [/ math] es el número de lados del polígono y r es el circunradio del polígono, el ángulo subtendido por 2 líneas circunradiales sucesivas en el centro del polígono (el circuncentro también) será [math ] \ displaystyle \ theta = \ frac {2 \ pi} {n} [/ math] y las longitudes de [math] \ displaystyle A_1A_2, A_1A_3, A_1A_4 [/ math] serán (aplicando la regla del coseno de los triángulos):

[matemáticas] \ displaystyle A_1A_2 = 2r \ sin \ frac {\ theta} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle A_1A_3 = 2r \ sin \ theta [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle A_1A_4 = 2r \ sin \ frac {3 \ theta} {2} [/ matemáticas]

Ahora conecte esto a la expresión dada de la pregunta y después de tomar LCM en el RHS e invertir, obtenemos:

[matemáticas] \ displaystyle \ sin \ frac {\ theta} {2} = \ frac {\ sin \ theta \ sin \ frac {3 \ theta} {2}} {\ sin \ theta + \ sin \ frac {3 \ theta } {2}} [/ matemáticas]

Ahora podemos escribir [math] \ displaystyle \ sin \ theta = 2 \ sin \ frac {\ theta} {2} \ cos \ frac {\ theta} {2} [/ math] y usar el producto para la fórmula de transformación en el resultante sin, cos producto en el RHS y después de un poco más de álgebra obtenemos (y también después de sustituir theta en términos de n):

[matemáticas] \ displaystyle \ sin \ frac {3 \ pi} {n} = \ sin \ frac {4 \ pi} {n} [/ matemáticas]

Después de hacer prueba y error desde n = 4 en adelante, podemos ver que n = 7 satisfará la expresión anterior.

Por lo tanto, el polígono tiene 7 lados.