Dadas las coordenadas de un punto de cada lado de un cuadrado (sin vértices), ¿cómo encontrar las ecuaciones de los lados de un cuadrado en el que se encuentran?

Answer 1

Llama a los puntos A, B, C y D. Dibuja AB, AC, AD. Uno de esos tres está entre los otros dos, así que deje que el medio sea C. (Si ese no es el caso, entonces tres de los cuatro puntos son colineales y dos de los puntos colineales definen dos esquinas del cuadrado; si el el cuarto punto está en el lugar correcto, tiene una solución, de lo contrario no la tiene)

Dibuja BD. Si BD no se cruza con AC, entonces C está dentro del triángulo ABD y no hay solución. En este punto, sabemos que el cuadrilátero ABCD simplemente encaja dentro del cuadrado, con CA conectada a dos lados opuestos del cuadrado y BD conectando los otros dos lados opuestos. Todo lo que queda es encontrar dos líneas paralelas a través de A y C, respectivamente, y dos líneas paralelas a través de B y D, respectivamente, de modo que las distancias que separan los pares de líneas paralelas sean iguales. Eso definirá un cuadrado. Si hay una solución, el cuadrilátero estará dentro del cuadrado y tocará cuatro lados. De lo contrario, no lo hará.

Entonces, la única variable para determinar es el ángulo (s) de la línea a través de A que resultaría en que las separaciones sean iguales. Esto se puede hacer usando funciones trigonométricas, ya que el seno del ángulo en A multiplicado por la longitud de CA es igual al seno del ángulo en B multiplicado por la longitud de BD.

La solución es constructible, es decir, también se puede encontrar usando solo una brújula y una regla. Una forma es copiar BD para que B esté en A, girar la copia un cuarto de vuelta, luego copiar AC en el otro extremo de la copia girada de BD para que la copia de A esté en la copia de D. La “A” el lado del cuadrado pasará por A y el extremo “C” de la copia de AC.

Answer 2

Deje (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) y (x4, y4) ser los cuatro puntos dados que se encuentran en cada lado del cuadrado con (x1, y1) y (x3, y3) lados opuestos y (x2, y2) y (x4, y4) se encuentran en otro par de lados opuestos del cuadrado. Usando los hechos de que son paralelos o perpendiculares, tenemos lo siguiente:

L1: a (x – x1) + b (y – y1) = 0, ax simplificado + por – (ax1 + by1) = 0

L2: a (x – x3) + b (y – y3) = 0, ax simplificado + por – (ax3 + by3) = 0

L3: b (x – x2) – a (y – y2) = 0, bx simplificado – ay + (ay2 – bx2) = 0

L4: b (x – x4) – a (y – y4) = 0, bx simplificado – ay + (ay4 – bx4) = 0

con L1 // L2, L3 // L4 y L1, L2 perpendicular a L3, L4 donde se encuentran ayb.

Como es un cuadrado, la distancia entre pares opuestos debe ser igual.

[a (x3 – x1) + b (y3 – y1)] / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = (+/-) [a (y2 – y4) + b (x4 – x2)] / sqrt ( a ^ 2 + b ^ 2)

Parece que necesitamos tener una condición más para encontrar lo desconocido a y b. Espero que otras personas puedan ayudar.

Editar:

Dado que recibí una notificación sobre un comentario a mi respuesta hoy, revisé nuevamente la respuesta anterior y descubrí que, aunque los pasos son correctos, la conclusión es incorrecta.

De hecho, en lugar de encontrar el valor de ayb, encontrar la relación de a ya es suficiente.

A partir de la ecuación equidistante derivada anteriormente (la última ecuación), podemos encontrar la razón de a para ser. Digamos que a / b = m, luego sustituya a = mb en la ecuación de las cuatro líneas anteriores y luego cancele la b, obtenemos la respuesta.

Answer 3

Si suponemos que los lados del cuadrado son paralelos o perpendiculares a los ejes de coordenadas, tome los puntos más altos y más bajos. Mira sus coordenadas y. (Supongamos que son ayb). Las líneas que forman esos lados son y = a y y = b.

Ahora mira las coordenadas x de tus puntos restantes. (Supongamos que son cyd). Entonces tus otras dos líneas son x = c y x = d.

Si permitimos que se gire el cuadrado, necesitamos más información.

Answer 4

Los 4 puntos de intersección dentro de un círculo se encuentran en los cuatro lados de los dos cuadrados separados que se muestran, por lo tanto, para al menos este diagrama, no puede existir una solución única.