¿Cómo encontrarías el volumen de un toro sólido (forma de rosquilla)?

Answer 1

Esta pregunta me intrigó para pedir una caja llena de donas, así que aquí vamos, respondería esto mientras disfruto mis donas de Krespy Creme.

Antes de comenzar, hagamos ciertas suposiciones

Apueste ‘ r ‘ como el radio de la sección transversal circular del toro, y ‘ R’ como la distancia desde el centro del toro hasta el centro de cualquier sección transversal.

El boceto a la izquierda es un boceto de la sección transversal completa. El boceto a la derecha es del círculo que estamos girando alrededor del eje y . Se incluye una línea que representa dónde estaría el área de la sección transversal en el toro.

Observe que el radio interno siempre será la porción izquierda del círculo y el radio externo siempre será la porción derecha del círculo. Ahora, sabemos que la ecuación de esto es,

[matemáticas] (xR) ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas]

y si resolvemos x podemos obtener las ecuaciones para los lados izquierdo y derecho como se muestra arriba en el boceto. Sin embargo, esto significa que ahora también tenemos ecuaciones para los radios interno y externo.

[matemáticas] radio interior: x = R-√ (r ^ 2-y ^ 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] radio exterior: x = R + √ (r ^ 2-y ^ 2) [/ matemáticas]

El área de la sección transversal es entonces,

A continuación, la sección transversal más baja se producirá en

                     [matemáticas] y = -r [/ matemáticas]

y la sección transversal más alta ocurrirá en

[matemáticas] y = r [/ matemáticas]

y entonces los límites para la integral serán

                                                [matemáticas] -r ≤ y ≤ r [/ matemáticas]

La integral que da el volumen es entonces,

Sabemos que la ecuación del círculo es

[matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas]

y si resolvemos para x la ecuación del círculo en el primer cuadrante (y el cuarto) es,

[matemáticas] x = √ (r ^ 2 – y ^ 2) [/ matemáticas]

Si queremos una integral para el área en el primer cuadrante, podemos pensar en esta área como la región entre la curva   [math] x = √ (r ^ 2 – y ^ 2) [/ math] y el eje y para y esto es [math] -r ≤ y ≤ r [/ math] , y esto es,

[matemáticas] A = \ displaystyle \ int_0 ^ r√ (r ^ 2 – y ^ 2) \, dy [/ math]

En otras palabras, esta integral representa una cuarta parte del área de un círculo de radio r y de las fórmulas geométricas básicas ahora sabemos que esta integral debe tener el valor,

[matemáticas] A = \ displaystyle \ int_0 ^ r√ (r ^ 2 – y ^ 2) \, dy = 1/4 \ pi r ^ 2 [/ matemáticas]

Entonces, juntando todo esto, el volumen del toro es entonces

[matemática] V = 8 \ pi R \ int_0 ^ r√ (r ^ 2 – y ^ 2) \, dy [/ matemática]

[matemáticas] = 8 \ pi R (1/4 \ pi R ^ 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2R \ pi ^ 2r ^ 2 [/ matemáticas]

Volumen de torus = [matemática] 2R \ pi ^ 2r ^ 2 [/ matemática]

Answer 2

Coloque el toro en el plano [matemático] XY [/ matemático] con su centro en el origen. La sección transversal de la mitad derecha del toro a lo largo del plano [matemático] XZ [/ matemático] se muestra en la figura a continuación.

Deje que el radio mayor y el radio menor del toro sean [matemática] R [/ matemática] y [matemática] r [/ matemática] respectivamente.

[math] \ Rightarrow \ qquad OP = R [/ math] y [math] PA = r. [/ math]

Sea [math] AB [/ math] una sección transversal del toro paralela al plano [math] XY [/ math] a una distancia [math] z [/ math] del origen, a lo largo de [math] Z [/ math] eje.

[math] \ Rightarrow \ qquad PC = z \ qquad \ Rightarrow \ qquad AC = \ sqrt {r ^ 2-z ^ 2}. [/ math]

[matemática] \ Rightarrow \ qquad QA = R- \ sqrt {r ^ 2-z ^ 2} \ qquad [/ math] y [math] \ qquad QB = R + \ sqrt {r ^ 2 + z ^ 2}. [ /matemáticas]

[math] \ Rightarrow \ qquad [/ math] El área del anillo creado al girar el segmento de línea [math] AB [/ math] alrededor del eje [math] Z [/ math] es [math] \ pi \ left [ \ left (R + \ sqrt {r ^ 2 + z ^ 2} \ right) ^ 2- \ left (R + \ sqrt {r ^ 2-z ^ 2} \ right) ^ 2 \ right] = 4 \ pi R \ sqrt {r ^ 2-z ^ 2}. [/ math]

Para obtener el volumen del toro tenemos que integrar el área del anillo desde [math] z = -r [/ math] a [math] z = r. [/ Math]

[matemática] \ Rightarrow \ qquad V = \ int _ {- r} ^ r 4 \ pi R \ sqrt {r ^ 2-z ^ 2} \, dz. [/ math]

Deje [math] z = r \ sin \ theta \ qquad \ Rightarrow \ qquad dz = r \ cos \ theta d \ theta. [/ Math]

Cuando [math] z = -r, \ theta = – \ frac {\ pi} {2} \ qquad [/ math] y [math] \ qquad [/ math] cuando [math] z = r, \ theta = \ frac {\ pi} {2}. [/ math]

[matemáticas] \ Rightarrow \ qquad V = 4 \ pi R \ int _ {- \ frac {\ pi} {2}} ^ {\ frac {\ pi} {2}} r ^ 2 \ cos ^ 2 \ theta \, d \ theta = 4 \ pi Rr ^ 2 \ int _ {- \ frac {\ pi} {2}} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ left (\ frac {1+ \ cos 2 \ theta} {2} \ right) \, d \ theta [/ math]

[matemáticas] \ qquad \ qquad = 2 \ pi Rr ^ 2 \ left [\ theta + \ frac {\ sin 2 \ theta} {2} \ right] _ {- \ frac {\ pi} {2}} ^ { \ frac {\ pi} {2}} = 2 \ pi ^ 2 Rr ^ 2. [/ math]

[math] \ Rightarrow \ qquad [/ math] El volumen de un toro con el radio mayor y el radio menor [math] R [/ math] y [math] r [/ math] respectivamente es [math] 2 \ pi ^ 2 Rr ^ 2 = \ left (\ pi r ^ 2 \ right) \ left (2 \ pi R \ right). [/ Math]

Answer 3

El volumen de un toro se puede calcular con la siguiente fórmula:

Answer 4

Suponiendo que el objeto no flota y no es demasiado grande, coloque un balde en un tazón y llénelo cuidadosamente con agua hasta el borde sin derramar nada en el tazón. Baje suavemente el objeto al agua para que el desbordamiento entre en el recipiente. Miden la cantidad de agua que se desplazó.

Answer 5

Calcule el volumen general y luego calcule el volumen del centro y reste