¿Cuál es la relación entre la tensión superficial y el área?

No hay conexión general. La tensión superficial es una función del perímetro del cuerpo, no de su área. Es por eso que tiene unidades de Newtons por metro, no Newtons por metro cuadrado.

Por supuesto, para los objetos de forma regular (como círculos) también existe una relación entre el perímetro y el área, por lo que puede formar una relación entre el área y la tensión superficial que se aplica solo a esa forma.

Pero dos cosas por lo demás idénticas de la misma área no experimentan la misma tensión superficial. Es una función de la longitud del perímetro de un cuerpo, no su área. Dos cuerpos con áreas muy diferentes experimentarán la misma tensión superficial si sus perímetros son iguales.

Lo anterior es una foto de un insecto retenido por la tensión superficial. Notarás que han evolucionado para tener la parte en contacto con el agua para tener el perímetro máximo posible (un rectángulo largo y delgado) para una masa total dada de la pierna. Si la tensión superficial dependiera del área, no tendrían patas largas y rectas como esta; simplemente tendrían pequeñas almohadillas al final de sus pies.

La tensión superficial de una burbuja esférica es un cuarto del producto del radio de la burbuja y la diferencia de presión entre el interior y el exterior de la burbuja. El área de una esfera es 4 pi * r ^ 2. Estableciéndolos equivalentes y resolviendo, vemos que el área de una burbuja esférica es 64 pi veces el cuadrado de la tensión superficial sobre el cuadrado de la diferencia de presión. A menos que haya cometido un error de álgebra.

Cito la mecánica de fluidos de Cengel y Cimbala : fundamentos y aplicaciones para la relación tensión-radio.