¿Cuáles son las aplicaciones prácticas de la hipérbola y la parábola?

Al principio, analicemos una hipérbola y algunas de sus propiedades.

En geometría analítica, es bien sabido que [matemáticas] \ frac {x ^ 2} {a ^ 2} – \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 [/ matemáticas] es la ecuación de una hipérbola. Encontraremos esa representación útil más adelante. Al igual que un círculo genera las funciones trigonométricas (seno y coseno), una hipérbola genera funciones hiperbólicas, que usaremos a continuación.

La imagen para entender el concepto.

Las funciones hiperbólicas aparecieron por primera vez en la segunda mitad del siglo XVII, dentro del problema de la forma que una cadena colgante idealizada tomará bajo su propio peso cuando se apoya solo en sus extremos. No importa cómo los extremos se coloquen relativamente uno con respecto al otro, la forma se vería exactamente como un gráfico de un coseno hiperbólico (o un seno). Hoy en día este resultado podría obtenerse fácilmente mediante métodos de cálculo de variaciones, pero en 1691 fue demostrado por Leibniz, Huygens y Johann Bernoulli, y en aquel entonces fue un gran logro.

Entonces, ¿las funciones hiperbólicas tienen algo que ver con la gravedad? Sí. Al igual que hay formas de ver la naturaleza elíptica de las hipérbolas y parábolas, existen ecuaciones que nos llevan a comprender por qué los cometas, los asteroides y otros objetos celestes relativamente rápidos se mueven de la manera en que lo hacen.

La próxima gran aparición de hipérbolas y funciones hiperbólicas ocurrió en la primera mitad del siglo XIX, en los trabajos de Lobachevsky sobre el caso especial de la geometría hoy en día bien conocida como geometría lobachevskiana o geometría hiperbólica . Incluso las aplicaciones teóricas de esta teoría aparecen solo en el siglo XX en la teoría especial de la relatividad de Albert Einstein, que encontró su lugar en la vida cotidiana solo después de que sistemas como el GPS estuvieran disponibles para una gran cantidad de personas.

“¿STR en la vida cotidiana? ¿Qué?” Sí, eso es verdad. Sin correcciones, que dicta la relatividad especial, los sistemas de fotografía acumularían un error diario de 50-100 kilómetros.

Entonces, ¿qué pasa con las hipérbolas? Dejanos ver.

La física está llena de leyes de conservación. Básicamente porque si no se conserva nada, nada se podría describir o predecir. Entonces, al principio, la física busca la propiedad conservadora de un sistema y luego describe la forma en que el sistema evoluciona. Por lo tanto, el primer paso para conectar las propiedades básicas del espacio-tiempo y las leyes de la física fue realizado por Einstein, y la generalización de estas conexiones fue probada por Emmy Noether.

Así, la conservación de una propiedad física se corresponde con una ley de movimiento. Pero comencemos en el espacio euclidiano, donde la principal propiedad conservadora es la distancia. No importa cómo me mudaría relativamente a una regla en el espacio euclidiano con las leyes de movimiento de Newton, siempre cambiará su longitud. Eso significa que observamos transformaciones físicas del espacio (movimientos) que no cambian la longitud. Se puede describir así: [matemáticas] (dx) ^ 2 + (dy) ^ 2 + (dz) ^ 2 = l ^ 2 = const [/ matemáticas] donde [matemáticas] l [/ matemáticas] es la longitud de el gobernante. No importa cómo veamos las diferencias entre las coordenadas de los extremos de la regla, los cálculos nos llevan a la misma longitud. Pero en STR eso no es cierto. En STR [matemáticas] (dx) ^ 2 + (dy) ^ 2 + (dz) ^ 2 [/ matemáticas] no es constante, pero lo que conserva es [matemáticas] (dx) ^ 2 + (dy) ^ 2 + ( dz) ^ 2 – c ^ 2 (dt) ^ 2 = (ds) ^ 2 = const [/ math], un valor llamado intervalo. La descripción básica de esta propiedad es complicada, pero lo que vemos es que una parte representa la longitud euclidiana, y otra parte agrega tiempo a la ecuación. Si reescribimos este hecho obtenemos: [matemáticas] l ^ 2 – c ^ 2 (dt) ^ 2 = (ds) ^ 2 = const [/ matemáticas] que coincide perfectamente con la ecuación de la hipérbola. Eso nos lleva a muchas fórmulas que utilizan funciones hiperbólicas y nos dice mucho sobre nuestro Universo.

Otro camino que nos lleva a las hipérbolas en la geometría lobachevskiana es utilizar el hecho de que existe un fuerte límite de velocidad global en el Universo. Observar un universo por una cantidad de tiempo [matemática] t [/ matemática] (básicamente, fijar su valor) resulta en la construcción de una esfera de espacio disponible alrededor del observador que tiene la siguiente ecuación: [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = s ^ 2 + c ^ 2 t ^ 2. [/ math] Esto nos lleva a uno de los modelos más simples de geometría lobachevskiana, el modelo Beltrami-Klein.

Hay muchos, pero en particular las hipérbolas y las parábolas representan órbitas no unidas en un potencial gravitacional (o cualquier otro [matemático] 1 / r ^ 2 [/ matemático]). Mientras tanto, una órbita enlazada puede ser un círculo o una elipse.

Imagina, por ejemplo, un satélite que circula por Marte. El satélite tiene energía potencial [matemáticas] – \ frac {GM_ {Marte} m_ {satélite}} {r ^ 2} [/ matemáticas] (tiene energía potencial cero cuando no siente fuerza, una distancia infinita r de Marte, y energía potencial máxima cuando golpea la superficie, donde r es tan pequeño como puede ser, y la fuerza gravitacional se maximiza) y la energía cinética [matemáticas] m_ {satélite} v ^ 2/2 [/ matemáticas].

Una órbita limitada es aquella en la que la suma de estos es menor que cero. Lo que eso significa es que su satélite puede intercambiar energía cinética por energía de enlace (una cosa rápida que se aleja del planeta se ralentiza por la gravedad, y puede alejarse más si comienza con más velocidad). Si tiene muy poca energía cinética para llegar al infinito (es decir, se queda sin velocidad a una distancia finita de Marte), está en una órbita limitada. Caerá hacia Marte, lo azotará y volará hacia afuera nuevamente, una elipse. Cuanta más energía cinética tenga, más larga será la elipse: llegará más lejos antes de detenerse y retroceder. Si la energía cinética = energía de unión, la elipse se vuelve infinita en longitud: matemáticamente esta es una parábola. Incluso parece un poco como la mitad de una elipse … en este caso, la órbita no está unida, el satélite puede alejarse tanto de Marte como quiera y nunca usar toda su velocidad. Si le das aún más energía cinética, sigue un camino hiperbólico más extremo.

Ahí vas. tl; dr: puedes usar una hipérbola o una parábola para describir una órbita y llevar tu nave espacial de un planeta a otro.