¿Cuál es el número de elementos distintos en el conjunto [matemáticas] \ {(1+ \ omega + \ omega ^ 2 +… + \ omega ^ n) ^ m: m, n = 1,2,3,… \} [ / math] donde [math] \ omega [/ math] es una raíz cúbica de la unidad?

Answer 1

Primero calculo cuáles son los diferentes valores de [math] 1+ \ omega + \ omega ^ 2 +… + \ omega ^ n [/ math] cuando [math] n \ in \ mathbb {N}. [/ Math]

Sea [math] x = [/ math] [math] 1+ \ omega + \ omega ^ 2 +… + \ omega ^ n [/ math] [math]. [/ Math]

Entonces [matemática] x (\ omega-1) = (1 [/ matemática] [matemática] + \ omega + \ omega ^ 2 +… + \ omega ^ n) (\ omega-1). [/ Matemática]

[matemáticas] x = \ frac {\ omega ^ {n + 1} -1} {\ omega-1} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {\ omega ^ r-1} {\ omega-1}, \; \; r \ equiv n + 1 \ pmod 3, 0 \ leq r <3. [/ math]

Hay tres valores diferentes de [matemática] x [/ matemática] correspondientes a [matemática] r = 0,1 [/ matemática] y [matemática] 2. [/ Matemática] Estos son

[matemática] 0, 1 [/ matemática] y [matemática] 1+ \ omega = – \ omega ^ 2 [/ matemática] respectivamente.

[matemática] x ^ m [/ matemática] puede tener valores [matemática] 0 ^ m = 0, 1 ^ m = 1 [/ matemática] y [matemática] (- \ omega ^ 2) ^ m = (- 1) ^ m \ omega ^ {2m} [/ matemáticas].

Vemos ese período de función [matemáticas] f (m) = (- 1) [/ matemáticas] [matemáticas] ^ m \ omega ^ {2m} = LCM ([/ matemáticas] período de [matemáticas] (- 1) ^ m, [/ math] período de [math] \ omega ^ {2m}) = LCM (2,3) = 6. [/ math]

Los seis valores diferentes de [matemáticas] f (m) [/ matemáticas] son ​​[matemáticas] 1, – \ omega ^ 2, \ omega ^ 4, – \ omega ^ 6, \ omega ^ 8, – \ omega ^ {10 } [/ matemáticas] es decir, [matemáticas] 1, – \ omega ^ 2, \ omega, -1, \ omega ^ 2, – \ omega. [/ matemáticas]

Por lo tanto, el número de elementos distintos del conjunto es 7.

Answer 2

Tenga en cuenta que [matemáticas] w ^ 3 = 1 w ^ 4 = ww ^ 5 = w ^ 2 [/ matemáticas] y así sucesivamente.

También [matemáticas] 1 + w + w ^ 2 = 0. [/ Matemáticas]

Entonces, para cualquier valor de n mayor que 3 tendremos repeticiones. Entonces n puede tomar los valores 1,2,3

Ponga n = 1, obtiene [matemáticas] (1 + w) ^ m = (- w ^ 2) ^ m [/ matemáticas] Para m = 1 la expresión es [matemáticas] -w ^ 2. [/ Matemáticas] Para m = 2 la expresión es [matemática] w ^ 4 = w. [/ matemática] Para m = 3 la expresión es [matemática] -w ^ 6 = -1. [/ matemática] Para m = 4 la expresión es [matemática ] w ^ 8 = w ^ 2. [/ math] Para m = 5 its [math] -w ^ 10 = -w. [/ math] Para m = 6 its [math] w ^ 12 = 1. [/ math] Para m = 7 es [math] -w ^ 14 = -w ^ 2. [/ math] Tenga en cuenta que hemos comenzado a obtener repeticiones. Entonces, desde aquí obtienes 6 valores distintos para n = 1.

Poner n = 2, obtienes [matemática] (1 + w + w ^ 2) ^ m = 0 ^ m = 0 [/ matemática] Entonces, para cualquier valor de m obtienes solo un valor en este caso, que es 0.

Ponga n = 3, obtiene [matemáticas] (1 + w + w ^ 2 + w ^ 3) ^ m = (w ^ 3) ^ m = 1 ^ m = 1 [/ matemáticas]. Pero tenga en cuenta que ya hemos Obtuve 1 en el primer caso. Entonces esto no cuadra.

Ponga n = 4, obtiene [matemáticas] (1 + w + w ^ 2 + w ^ 3 + w ^ 4) ^ m = (w ^ 3 + w ^ 4) ^ m = (1 + w) ^ m [ / math] Tenga en cuenta que esto es lo mismo que el primer caso. Entonces, cualquier m mayor que 3 da repetición como predijimos.

Entonces, el número de elementos distintos en el conjunto es 7 [matemática] (-w ^ 2, w, -1, w ^ 2, -w, 1,0) [/ matemática]

Espero que haya sido útil.

Answer 3

Se puede llegar a términos únicos mn + 1 expandiendo la expresión anterior. Pero como ω es la raíz cúbica de la unidad, todos los términos colapsarán en tres términos.

La expresión final tendría la forma de: n + m * ω + p * ω ^ 2, donde n, m y p son enteros.