¿Para qué enteros positivos [matemática] n [/ matemática] es [matemática] 5 ^ n + 1 [/ matemática] divisible por [matemática] 7 [/ matemática]?

Answer 1

5 ^ (n) + 1 = 7k (mod 7) … .. donde k es cualquier entero positivo.

5 ^ (n) = 7k-1 (mod 7) ……. (1)

Ahora, pon n = 0

5 ^ (0) = 1, por lo tanto, la ecuación (1) se convierte en,

1 = 7k-1

1 + 1 = 7k

2 = 7k

K = 2/7 = 0.28571, lo cual es una contradicción con nuestro valor de k.

Del mismo modo, ponemos diferentes valores de n.

Para n = 1

5 ^ (1) = 5, por lo tanto, la ecuación (1) se convierte en,

5 = 7k-1

5 + 1 = 7k

6 = 7k

K = 6/7 = 0.85714, lo cual es una contradicción con nuestro valor de k.

Para n = 2

5 ^ (2) = 25, por lo tanto, la ecuación (1) se convierte en,

25 = 7k-1

25 + 1 = 7k

26 = 7k

K = 26/7 = 3.71429, lo cual es una contradicción con nuestro valor de k.

Para n = 3

5 ^ (3) = 125, por lo tanto, la ecuación (1) se convierte en,

125 = 7k-1

125 + 1 = 7k

126 = 7k

K = 18 por lo tanto forn = 3 obtenemos una solución para 5 ^ (3) +1 es divisible por 7

Para n = 4

5 ^ (4) = 625, por lo tanto, la ecuación (1) se convierte en,

625 = 7k-1

625 + 1 = 7k

626 = 7k

K = 626/7 = 89.42857, lo cual es una contradicción con nuestro valor de k.

Para n = 5

5 ^ (5) = 3125, por lo tanto, la ecuación (1) se convierte en,

3125 = 7k-1

3125 + 1 = 7k

3126 = 7k

K = 3126/7 = 446.57143, lo cual es una contradicción con nuestro valor de k.

Para n = 6

5 ^ (6) = 15625, por lo tanto, la ecuación (1) se convierte en,

15625 = 7k-1

15625 + 1 = 7k

15626 = 7k

K = 15626/7 = 2232.28571, lo cual es una contradicción con nuestro valor dek.

Para n = 7

5 ^ (7) = 78125, por lo tanto, la ecuación (1) se convierte en,

78125 = 7k-1

78125 + 1 = 7k

78126 = 7k

K = 78126/7 = 11160.85714, lo cual es una contradicción con nuestro valor dek.

Para n = 8

5 ^ (8) = 390625, por lo tanto, la ecuación (1) se convierte en,

390625 = 7k-1

390625 + 1 = 7k

390626 = 7k

K = 390626/7 = 55803.71429, lo cual es una contradicción con nuestro valor de k.

Para n = 9

5 ^ (9) = 1953125, por lo tanto, la ecuación (1) se convierte en,

1953125 = 7k-1

1953125 + 1 = 7k

1953126 = 7k

K = 1953126/7 = 279018 por lo tanto para n = 9 obtenemos una solución para 5 ^ (9) +1 es divisible por 7

Answer 2

Echemos un vistazo a los poderes de [matemáticas] 5 [/ matemáticas], módulo [matemáticas] 7 [/ matemáticas]:

[matemáticas] 5 ^ 0 = 1 \ text {} (\ text {mod} 7) [/ math]
[matemáticas] 5 ^ 1 = 5 \ text {} (\ text {mod} 7) [/ math]
[matemáticas] 5 ^ 2 = 4 \ text {} (\ text {mod} 7) [/ math]
[matemáticas] 5 ^ 3 = 6 \ text {} (\ text {mod} 7) [/ math]
[matemáticas] 5 ^ 4 = 2 \ text {} (\ text {mod} 7) [/ math]
[matemáticas] 5 ^ 5 = 3 \ text {} (\ text {mod} 7) [/ math]
– – – –
[matemática] 5 ^ 6 = 1 \ text {} (\ text {mod} 7) [/ math]
(y el ciclo se repite …)

Deseamos identificar los valores de [math] n [/ math] de modo que [math] 5 ^ n + 1 = 7 \ text {} (\ text {mod} 7) [/ math], o en otras palabras, cuando [ matemáticas] 5 ^ n = 6 \ text {} (\ text {mod} 7) [/ math]. Volviendo a la tabla que creamos anteriormente en el problema, vemos que [math] 5 ^ n + 1 [/ math] es divisible por [math] 7 [/ math] solo cuando [math] n [/ math] es un múltiplo impar de [matemáticas] 3 [/ matemáticas].

Editar: cambiado a múltiplo impar de 3. ¡Gracias a Souvik Sinha Roy por la captura!

Answer 3

Tenga en cuenta que,

[matemáticas] 5 ^ 3 = -1 \ mod7 [/ matemáticas]

[matemáticas] [5 ^ 3] ^ {\ frac {n} {3}} = (- 1) ^ {\ frac {n} {3}} \ mod7 [/ matemáticas]

[matemáticas] 5 ^ n + 1 = 1 + (- 1) ^ {\ frac {n} {3}} \ mod7 [/ matemáticas]

Para que este último sea divisible por [matemáticas] 7 [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 + (- 1) ^ {\ frac {n} {3}} = 0 [/ matemáticas]

Que dice eso,

[math] \ dfrac {n} {3} [/ math] debe tener la forma [math] 2k + 1 [/ math] para algún número entero no negativo [math] k. [/ math]

Por lo tanto,

[matemáticas] n = 6k + 3 [/ matemáticas]

Answer 4

Dado que [math] 5 ^ 6 \ equiv 1 \ pmod {7} [/ math] por el teorema [math] “[/ math] little [math]” [/ math] de Fermat, [math] \ text {ord} _7 \, 5 \ mid 6 [/ matemáticas]. Sin embargo, [math] 5 ^ k \ not \ equiv 1 \ pmod {7} [/ math] para [math] k \ in \ {1,2,3 \} [/ math]. Por lo tanto, [matemáticas] \ text {ord} _7 \, 5 = 6 [/ matemáticas], y así [matemáticas] 5 ^ r \ equiv 5 ^ s \ pmod {7} \ Leftrightarrow r \ equiv s \ pmod {6} [/matemáticas].

Además, [math] \ text {ord} _7 \, 5 = 6 [/ math] implica [math] 5 ^ r \ not \ equiv 5 ^ s \ pmod {7} [/ math] para [math] 1 \ le r