Gracias por el A2A. Después de calcular los primeros términos, puede conjeturar que cada término sucesivo se duplica (esa es más o menos la tendencia obvia de los números en cuestión). Dependiendo de cuánta inducción conozca, puede intentar probar [matemáticas] a_ {n} = 3 * 2 ^ {n-1} [/ matemáticas]. Esto es cierto para [matemáticas] a_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] a_2 [/ matemáticas]. Supongamos que [math] a_n = 3 * 2 ^ {n-1} [/ math] y [math] a_ {n + 1} = 3 * 2 ^ n [/ math] para algunos [math] n [/ math] y conéctelos a la relación de recurrencia para obtener [matemáticas] a_ {n + 2} = 3 * a_ {n + 1} – 2 * a_n = 9 * 2 ^ n – 6 * 2 ^ {n-1} = 18 * 2 ^ {n-1} – 6 * 2 ^ {n-1} = 12 * 2 ^ {n-1} = 3 * 2 ^ {n + 1} [/ matemáticas]. Esto es más o menos cómo se lleva a cabo el proceso de inducción, comenzando desde la base de inducción ([matemática] n = 1,2 [/ matemática]), teniendo la hipótesis de inducción para [matemática] а_n [/ matemática] y [matemática] a_ {n + 1} [/ math] y probar la fórmula deseada para [math] a_ {n + 2} [/ math].
La respuesta de Austin Wu a continuación menciona un método general interesante, que en realidad es el resultado de interesantes teoremas de álgebra lineal. En resumen, hay una matriz correspondiente a la transformación del vector [matemáticas] [a_ {n + 1}, a_ {n}] ^ T [/ matemáticas] al vector [matemáticas] [a_ {n + 2}, a_ {n + 1}] [/ math], que viene dado por [math] A = \ begin {bmatrix} 3 & -2 \\\\ 1 & 0 \ end {bmatrix} [/ math]. Como ejercicio de álgebra lineal, primero puede encontrar los valores propios / vectores de esa matriz, mostrar el vector [matemáticas] [a_2, a_1] ^ T [/ matemáticas] como una combinación lineal de esos vectores propios, y luego calcular explícitamente el vector resultante del cálculo [matemática] A ^ n [a_2 a_1] ^ T = [a_ {n + 2}, a_ {n + 1}] ^ T [/ matemática]. Este método funciona independientemente de los valores de los 2 miembros iniciales de la secuencia.
Si está interesado en secuencias linealmente recurrentes, el lugar al que debe ir es un curso estándar / avanzado (según el nivel de su escuela / universidad) en álgebra lineal. La ecuación característica que Austin obtuvo a continuación es algo que se ve una y otra vez en las ecuaciones diferenciales, que son la versión continua de secuencias linealmente recurrentes.
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