¿Cómo se puede saber el número de enteros [matemática] n [/ matemática] para los cuales [matemática] 3x ^ 3-25x + n = 0 [/ matemática] tiene 3 raíces reales?

Answer 1

[matemáticas] f (x) = 3x ^ 3-25x ^ 2 + n [/ matemáticas]

Olvidemos [math] n [/ math] por un momento,

[matemáticas] g (x) = 3x ^ 3-25x = 3x \ left (x- \ dfrac {5} {\ sqrt {3}} \ right) \ left (x + \ dfrac {5} {\ sqrt {3} } \ right) [/ math]

El valor de [math] n [/ math] simplemente cambiará el gráfico,

Por lo tanto, el valor de [math] n [/ math] puede ser (- , – )

Puedes visualizar esto desde el gráfico,

[Matemáticas] g ‘(x) = 9x ^ 2-25 = (3x + 5) (3x-5) = 0 [/ math] ← Condiciones específicas para max o min

[matemáticas] x = \ dfrac {5} {3}, \ dfrac {-5} {3} [/ matemáticas]

[math] g ” (x) = 18x [/ math] ← si [math] x [/ math] es -ve, obtenemos max, y para + ve, obtenemos min

max = [matemática] g \ left (\ dfrac {-5} {3} \ right) = \ dfrac {250} {9} [/ math]

min = [matemática] g \ left (\ dfrac {5} {3} \ right) = \ dfrac {-250} {9} [/ math]

---

[matemáticas] n \ in \ left (\ dfrac {-250} {9}, \ dfrac {250} {9} \ right) [/ math]

[matemática] n \ en [-27,27] [/ matemática] ← elegantemente ya que queremos valores integrales,

[matemáticas] n \ in \ mathbb {Z} [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] n \ in \ {- 27, -26, \ cdots, 25,26,27 \} [/ matemáticas]

Answer 2

Sea [math] f (x) = 3 {x ^ 3} – 25x + n [/ math]. Entonces [math] f ‘(x) = 9 {x ^ 2} – 25 = 0 \ Rightarrow x = \ pm \ frac {5} {3} [/ math]. Como [math] f (\ pm \ frac {5} {3}) = \ pm \ left ({n – \ frac {{250}} {9}} \ right) [/ math] entonces la distancia vertical entre max y min es [math] \ frac {500} {9} [/ math] que se redondea a [math] 55 [/ math].

Answer 3

Cualquier polinomio cúbico [matemático] p (x) [/ matemático] es una función continua. Para que tenga tres raíces reales, su gráfica [math] y = p (x) [/ math] necesita intersecar el eje [math] x [/ math] tres veces. Esto solo sucederá cuando estén presentes las dos condiciones siguientes:

1. [matemática] p (x) [/ matemática] tiene un punto estacionario máximo y uno mínimo.
2. La [math] y [/ math] -coordinate del punto máximo es positiva y la [math] y [/ math] -coordinate del punto mínimo es negativa.

Así que nos propusimos encontrar los valores de [math] n [/ math] para los cuales se cumplen las condiciones (1.) y (2.) anteriores.

En nuestro ejemplo, [matemáticas] p (x) = 3x ^ 3–25x + n [/ matemáticas]. Su derivada es [matemática] p ^ \ prime (x) = 9x ^ 2–25 [/ matemática]. Esto es igual a cero cuando [matemática] x ^ 2 = \ frac {25} {9} [/ matemática], es decir, cuando [matemática] x = \ pm \ frac {5} {3} [/ matemática]. La segunda derivada [matemática] p ^ {\ prime \ prime} (x) = 18x [/ matemática]. Cuando [math] x = + \ frac {5} {3} [/ math], [math] p ^ {\ prime \ prime} (x)> 0 [/ math], mientras que cuando [math] x = – \ frac {5} {3} [/ math], [math] p ^ {\ prime \ prime} (x) <0 [/ math]. Por lo tanto, la condición (1.) se cumple para cualquier valor de [matemática] n [/ matemática]: la gráfica de [matemática] y = p (x) [/ matemática] tiene un punto máximo en [matemática] x = - \ frac {5} {3} [/ math] y un punto mínimo en [math] x = + \ frac {5} {3} [/ math].

Encontremos ahora las coordenadas [matemáticas] y [/ matemáticas] de estos dos puntos estacionarios. Cuando [math] x = – \ frac {5} {3} [/ math], [math] y = p \ left (- \ frac {5} {3} \ right) = 3 \ left (- \ frac { 5} {3} \ right) ^ 3–25 \ left (- \ frac {5} {3} \ right) + n = n + 27 \ frac {7} {9} [/ math]. Por otro lado, cuando [matemáticas] x = \ frac {5} {3} [/ matemáticas], [matemáticas] y = p \ izquierda (\ frac {5} {3} \ derecha) = 3 \ izquierda (\ frac {5} {3} \ right) ^ 3–25 \ left (\ frac {5} {3} \ right) + n = n-27 \ frac {7} {9} [/ math].

Para que se cumpla la condición (2.), requerimos que [matemáticas] n + 27 \ frac {7} {9}> 0 [/ matemáticas] y que [matemáticas] n-27 \ frac {7} {9 } <0 [/ matemáticas]. Por lo tanto, [math] n> -27 \ frac {7} {9} [/ math] y [math] n <27 \ frac {7} {9} [/ math].

Por lo tanto, [math] n \ in \ {- 27, -26, -25, \ ldots, 25,26,27 \} [/ math]. Este conjunto tiene 55 elementos. Por lo tanto, hay 55 números enteros [matemáticos] n [/ matemáticos] para los cuales el polinomio [matemático] p (x) = 3x ^ 3−25x + n [/ matemático] tiene tres raíces reales.