¿Cuáles son las conjeturas más conocidas sobre los enteros en forma de [matemáticas] 2 ^ n-1 [/ matemáticas]?

Si n es compuesto, se ha demostrado que [matemática] 2 ^ n-1 [/ matemática] también es compuesta.

Si n es primo, p, entonces [matemática] 2 ^ p-1 [/ matemática] se llama Número de Mersenne.

Si un número de Mersenne es primo, se llama Mersenne Prime.

Por ejemplo, si p = 7, entonces 2 ^ p = 128. y [matemáticas] 2 ^ 7-1 [/ matemáticas] es 127, que es primo, y por lo tanto también es un Mersenne Prime.

La conjetura principal sobre Mersenne Primes es: ¿Hay un número infinito de Mersenne Primes? Por supuesto, ser una conjetura significa que no sabemos si hay un número infinito de Mersenne Primes. La mayoría de los matemáticos especulan que hay.

Hay un software llamado GIMPS que puede ejecutar en su computadora para encontrar Mersenne Primes. La importancia de Mersenne Primes es que hay una prueba rápida para determinar si un número de Mersenne es un Mersenne Prime.

A partir de mayo de 2016, el número primo más grande que conocemos es el Mersenne Prime: [matemáticas] 2 ^ {74,207,281} –1 [/ matemáticas]. Este número tiene, listo, 22,338,618 dígitos decimales y se acaba de descubrir este año.

Si escribiera este número primo a razón de 1 dígito por segundo, tomaría aproximadamente 258 días. Es una gran cosa para intentar si estás aburrido.

Mencionaría dos conjeturas en forma de preguntas abiertas a continuación:

Abra la pregunta uno: ¿Hay infinitos números primos entre [matemáticas] 2 ^ p-1 [/ matemáticas] con números primos [matemáticas] p [/ matemáticas]? La respuesta a este problema lleva a otra famosa conjetura, se la dejo a alguien que sabe contarte.

Pregunta abierta dos: ¿Hay infinitos compuestos entre [matemáticas] 2 ^ p-1 [/ matemáticas] con números primos [matemáticas] p [/ matemáticas]?

Advertencia: no intente resolver estos problemas con demasiada fuerza, lo que podría ser muy difícil. Pasar demasiado tiempo en ello sería un desperdicio, a menos que tenga una muy buena idea. Aun así, aún no debería tomarse demasiado tiempo para resolver este tipo de problemas.