¿Es posible expresar [matemáticas] x \ equiv 3 \ pmod 5 [/ matemáticas] como un conjunto?

Answer 1

Claro que podrías escribir …

• [matemáticas] \ {…, -12, -7, -2, 3, 8, 13, … \} [/ matemáticas] – simple pero efectivo.
• [math] \ {x \ in \ mathbb {Z}: \ exist y \ in 5 \ mathbb {Z}: x – 3 = y \} [/ math] – menos ambiguo pero también un poco más técnico.
• [math] \ {x \ in \ mathbb {Z}: x – 3 \ in 5 \ mathbb {Z} \} [/ math] – igual que el anterior, pero más compacto.
• [math] \ bar {3} [/ math] o [math] [3] [/ math] – Estas son formas de representar la clase de equivalencia de 3. Tiene la desafortunada desventaja de que la relación definitoria (por ejemplo, mod 5) es No es parte de la notación. Por lo general, la relación es clara por el contexto.
• [math] \ bar {8} [/ math] o [math] [- 2] [/ math] – La elección del representante no importa mientras el representante sea miembro de la clase. Entonces estos conjuntos son iguales a las definiciones anteriores. Tenga en cuenta la distinción aquí entre igual y equivalente . Como se trata de definiciones de conjuntos, los conjuntos son iguales [matemática] [3] = [-2] [/ matemática] mientras que sus representantes son equivalentes [matemática] 3 \ equiv -2 \ bmod 5 [/ matemática].
• [matemáticas] 3 + 5 \ mathbb {Z} [/ matemáticas] no es como la mayoría de los matemáticos lo escribirían, sin embargo, probablemente entenderían lo que querías decir. (Esta notación podría ser más apropiada cuando se considera la estructura de grupo aditivo de los enteros: define un coset del subgrupo [math] 5 \ mathbb {Z} [/ math]).

Otra notación que verá es [math] \ mathbb {Z} / 5 \ mathbb {Z} [/ math]. Esto se lee como “z mod 5 z” y representa el conjunto de todas las clases de equivalencia bajo la relación definitoria. Por ejemplo, [matemáticas] x \ sim y: = x \ equiv y \ pmod 5 [/ matemáticas]. Una forma más general de escribir el conjunto de clases de equivalencia sería [math] \ mathbb {Z} / \ sim [/ math]. Esto es conveniente cuando la relación de definición es demasiado compleja para ponerla en el denominador. Sin embargo, el estándar para los enteros es usar la primera notación.

Para hacerlo un poco más concreto, la clase [math] [2] [/ math] es miembro de [math] \ mathbb {Z} / 5 \ mathbb {Z}. [/ Math] Es decir, puede escribir [ math] [2] \ in \ mathbb {Z} / 5 \ mathbb {Z}. [/ math] También puede agregar y multiplicar las clases, por ejemplo, [math] [2] [3] = [6] = [1 ] [/ matemáticas] o [matemáticas] [2] + [3] = [5] = [0] [/ matemáticas]. En general, debe verificar que las operaciones se conservan bajo la relación de equivalencia (es decir, que los operadores trabajan independientemente de la elección del representante), pero es bastante fácil de hacer para los enteros mod n.

Answer 2

Sí, el conjunto que está buscando se llama una clase de equivalencia, el conjunto de todos los enteros con algún resto, que se define como tal:

[matemáticas] \ bar {x} _n: = \ left \ {y \ in \ mathbb {Z}: y \ equiv x \ bmod {n} \ right \} [/ math]

Entonces, para su problema, queremos la clase de equivalencia de 3 cuando n = 5, entonces:

[matemáticas] \ begin {align *} \ bar {3} _5 & = \ left \ {y \ in \ mathbb {Z}: y \ equiv 3 \ bmod {5} \ right \} \\ & = \ left \ {y \ in \ mathbb {Z}: 5 \ mid y-3 \ right \} \\ & = \ left \ {y \ in \ mathbb {Z}: \ exist m \ in \ mathbb {Z} \ text { con} y-3 = 5m \ right \} \\ & = \ left \ {3 + 5m: m \ in \ mathbb {Z} \ right \} \\ & = 3 + 5 \ mathbb {Z} \ end { alinear *} [/ matemáticas]

Entonces, su igualdad está bien, lo que tiene sentido porque para cualquier número con el resto 3 después de dividir entre 5, podemos contar hacia arriba o hacia abajo 5 y alcanzaremos otro número con el resto 3. Entonces, si tomó 3, que obviamente tiene el resto 3 y agregó y también resta 5 por el tiempo que puedas, entonces habrías mencionado todos los elementos de [math] 3 + 5 \ mathbb {Z} [/ math].

Answer 3

Deje que [math] S = \ {x \ in \ mathbb {Z}: \ exist y \ in \ mathbb {Z}: x = 3 + 5y \} [/ math]

La notación que escribió probablemente tiene un par de problemas. [math] 3 mod 5 [/ math] es un número, no un conjunto, por lo general. [math] 5 \ mathbb {Z} [/ math] no está definido de otra manera.