Cómo calcular el resto cuando (23! / 13) se divide por 13

Answer 1

23! / 13 cuando se divide por 13 es lo mismo que 23! / 169.

23! contiene uno 13. Eso puede ser cancelado. Te doy un método largo (no sé atajo).

Escribe todos los términos de 23! excepto 13, ya que hemos cancelado uno 13.

El resto cuando 12 se divide por 13 es -1 y el resto cuando 14 se divide por 13 es +1. El resto cuando 625 se divide por 13 es +1.

¡Ahora encuentre cuántos 2s, 3s, 5s y 7s hay en 23!

Número de 2s = 19

Número de 3s = 9

Número de 5s = 4

Número de 7s = 3

Tomar 3 sietes y 3 dos; el resto cuando se divide por 13 es 1 * 1 * 1 = 1

Ahora todos los sietes se han ido y 3 dos también se han ido. Ahora tiene 16 dos, 9 tres y 4 cinco.

Ahora tomas 8 tres y 16 dos; el resto es 1 cuando se divide por 13.

Ahora quedan 1 tres y 4 cinco. El resto del producto de esto es 3.

¿Cuáles son todos los números que quedan?

23 * 11 * 19 * 17 * 11 * 3

Estos números se pueden reducir a -3 * -2 * 6 * 4 * -2 * 3 = 6 * 6 * 4 * 3 * -2 = 6 * 6 * -1 * -2

6 * 12 = 6 * -1 = -6 = 7

Oh! Realmente un largo camino por recorrer.

Answer 2

13 es primo, por lo que el conjunto {0,1,2, …… 11,12} con las operaciones + y * tiene una estructura de campo. Eso significa que puede agregar, multiplicar y dividir con resultados congruentes y lógicos. Y puede resolver ecuaciones sabiendo que el resultado es único.

por ejemplo, sabes que 13 * 3 = 39, que es un cero, porque dividir 39/13 elige el resto y es cero, pero eso significa que el siguiente número es uno = 40

y eso significa que 4 * 10 = 40 está en nuestro nuevo conjunto 4 * 10 = 1

pero eso también se puede escribir como 1/10 = 4 o 1/4 = 10 o 4 ^ (- 1) = 10 o decir que el inverso de 4 es 10.

Ahora la ecuación expresada en nuestro nuevo conjunto 4 X + 3 = 10 se puede resolver multiplicando todo por el inverso de 10

1/10 * 4 * X + 1/10 3 = 1/10 * 10

pero el inverso de 10 es 4, por lo que esta ecuación es la misma

4 * 4 * X + 4 * 3 = 4 * 10 o 16 x + 12 = 40 pero en nuestro conjunto 16 = 13 + 3 = 3 y 40 es 13 * 3 + 1 = 1 y es

3 x +12 = 1 como 9 * 3 = 27 = 13 * 2 + 1 luego 9 * 3 = 1, así que multiplicamos todo por 9

1 * X + 108 = 9108 = 4

x + 4 = 9, entonces x = 5

todas estas operaciones son consistentes solo porque 13 es primo, por lo que el conjunto de los restos es un campo. Ahora aquí comienza la resolución del problema, todo lo anterior fue solo en caso de que no lo supieras. Nuestro factorial 23 se expresa como un polinomio en 13, ¿qué?

si mira

23 * 22 * ​​21 * ,,,,,,,,,,, 14 aquí fue 13 pero dividimos entre 13 y se fue

(13 + 10) (13 + 9) (13 + 8) ,,,,,, (13 + 1) * (13–1) (13–2) (13–3) ***** (13– 10) * 2

eliges todos los pares (13 + k) (13-k) = (13 ^ 2- k * 2) y si desarrollas todos los términos obtienes un polinomio enorme con 13 en todo excepto el último término que será

10 ^ 2 * 9 ^ 2 * 8 ^ 2 * ………. * 3 ^ 2 * 2 ^ 2 * 1 ^ 2) * 2 = (10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 ) ^ 2 * 2

Aquí comienza lo que no podría hacer sin un campo, lo que no puede hacer si no fuera primo.

10 * 9 = 12 y 8 * 5 = 1 y 7 * 6 = 3 y 4 * 3 * 2 = 11

12 * 1 * 3 * 11

10 * 11 = 110 = 8 * 13 + 4 = 4

así que arriba está (4) ^ 2 * 2 = 16 * 2 = 3 * 2 = 6

la respuesta fue 6 a menos que haya tenido un error que no es de extrañar porque son las 5 am hora local

Answer 3

R = (23! / 13) mod 13
= (1 * 2 * …… .. * 12 * 14 * 15 * …… .. * 23) mod 13.

Como 1 mod 13 = -12, 2 mod 13 = -11 y así sucesivamente hasta 12 mod 13 = -1 y 14 mod 13 = 1, ……. & 23 mod 13 = 10,
R = (-12 * -11 *… .. * – 1 * 1 * 2 *…. * 10) mod 13.
(-1 * -2 *…. * – 12) = 12! Y
1 * 2 *… * 10 = 12! / (11 * 12).
Entonces, R = [12! ^ 2 / (11 * 12)] mod 13…. (1)

Ahora, (11 * 12) mod 13 = 2 … .. (2)

Por el teorema de Wilson,
12! mod 13 = -1.
Entonces, 12! ^ 2 mod 13 = (-1) ^ 2 mod 13 = 1… .. (3)

Pero 12! ^ 2 mod 13
= (11 * 12) [12! ^ 2 / (11 * 12)] mod 13
= 2R mod 13 …… de (1) y (2)

Entonces, de (3), 2R mod 13 = 1.
Como R <13, el único valor posible de R que satisface una condición dada es: R = 7 .

Resto = 7 .

Answer 4

Estoy bastante seguro de que quieres

[matemáticas] \ dfrac {23!} {13} \ mod 13 [/ matemáticas]

y no [matemáticas] 23! \ mod 13 [/ matemáticas]

---

Vamos a empezar,

Según el teorema de Wilson,

[matemáticas] 12! \ mod 13 = 12 [/ matemáticas]

o [matemáticas] 11! \ mod 13 = 1 = 66 [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] 10! \ Mod13 = 6 [/ matemáticas]

---

Ahora el verdadero comienzo!

[matemáticas] (1 * 2 * 3 \ cdots10) * 11 * 12 * (14 * 15 \ cdots23) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (10!) * (- 2) * (- 1) * (10!) [/ ​​matemáticas]

Desde [matemáticas] 14 \ equiv1 [/ matemáticas] y así sucesivamente …

[matemáticas] = 2 * (10!) ^ 2 [/ matemáticas]

Ahora usa la información que obtuvimos antes,

[matemáticas] = 2 * (6) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 72 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 7 [/ matemáticas]

HECHO !!!

Answer 5

N = 23! / 13
N / 13 =?
N = 23! / 13
= (1 * 2 * 3 *… .12 * 13 * 14 *… 23) / 13
N = (1 * 2 * 3 *… * 12 * 14 *… .. * 2 * 3)
Ahora
N / 13
= (1 * 2 * 3 *… .12) (14 * 15 *… 23) / 13
= (-12 * -11 * -10 *….-1) (1 * 2 * 3 *… ..10) / 13
Cuando 12 términos negativos multiplican la salida es positiva
= (12 * 11 * 10 *…. * 1) (1 * 2 * 3…. * 10) / 13
= 12! * 10! / 13
[Wilson alla de primer P
(P-1)! / P = (p-1) o -1 resto
(P-3) / P = (P-1) / 2 resto]
= -1 * 6/13
= -6/13
= -6 + 13
= 7 —-> resto