¿Qué es una expansión en serie infinita para x ^ (1/2)?

Answer 1

Para cualquier x> 0, elija [math] a> \ frac {x} {2} [/ math] para que [math] \ left | \ frac {x} {a} -1 \ right | <1 [/ math ] Reescribe [matemáticas] x ^ \ frac {1} {2} = (a + xa) ^ \ frac {1} {2} = \ sqrt {a} \ left (1+ \ frac {x} {a} -1 \ right) ^ \ frac {1} {2}. [/ math] Utilizamos la expansión de la serie binomial

[matemáticas] \ displaystyle (1 + z) ^ \ alpha = 1 + \ sum_ {k = 1} ^ \ infty \ frac {\ alpha (\ alpha-1) (\ alpha-2) \ dots (\ alpha-k +1)} {k!} Z ^ k [/ matemáticas]

siempre que [math] | z | <1 [/ math] para escribir (usando 0.5 en aras de la notación compacta)

[matemáticas] \ displaystyle x ^ \ frac {1} {2} = \ sqrt {a} + \ sqrt {a} \ sum_ {k = 1} ^ \ infty \ frac {0.5 (-0.5) (- 1.5) \ puntos (1.5-k)} {k!} \ left (\ frac {x} {a} -1 \ right) ^ k [/ math], que nuevamente converge cuando [math] 0 <x <2a. [/ math ]

Ahora, si el hecho de que todavía tenemos una raíz cuadrada en esa expresión, a saber, [math] \ sqrt {a}, [/ math] te está molestando, siempre podemos elegir [math] a [/ math] para que sea perfecto cuadrado (diga [matemáticas] m ^ 2) [/ matemáticas] para eliminar ese problema dando

[matemáticas] \ displaystyle x ^ \ frac {1} {2} = m + m \ sum_ {k = 1} ^ \ infty \ frac {0.5 (-0.5) (- 1.5) \ dots (1.5-k)} { k!} \ left (\ frac {x} {m ^ 2} -1 \ right) ^ k [/ math]

Podemos reescribir esto para que se vea más como una serie de Taylor usando la notación de coeficiente binomial generalizado:

[matemáticas] \ displaystyle x ^ \ frac {1} {2} = m \ sum_ {k = 0} ^ \ infty {0.5 \ elegir k} \ left (\ frac {x} {m ^ 2} -1 \ right ) ^ k [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = m \ sum_ {k = 0} ^ \ infty {0.5 \ elegir k} \ frac {1} {m ^ {2k}} \ left (xm ^ 2 \ right) ^ k [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty {0.5 \ elegir k} \ frac {1} {m ^ {2k-1}} \ left (xm ^ 2 \ right) ^ k [/ math ]

que tiene un radio de convergencia de [matemáticas] m ^ 2. [/ matemáticas]

Answer 2

Primero, debo decir que no estoy seguro pero:

Podemos cambiar x por x + x0.

f (x) = (x + x0) ^ (1/2)

f (0) = (x0) ^ (1/2)

f ‘(0) = 1/2 * (x0) ^ (- 1/2)

…

Por la serie Maclaurin:

f (0) + f ‘(0) * x + f’ ‘(0) (x ^ 2) / 2 + f’ ” (0) (x ^ 3) / 3! …….