Deje p y q ser primos distintos. El número de enteros positivos que satisfacen la ecuación [matemática] \ frac {1} {x} + \ frac {1} {y} = \ frac {1} {pq} [/ matemática] es?

Answer 1

[matemáticas] \ frac {1} {x} + \ frac {1} {y} = \ frac {1} {pq} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {x + y} {xy} = \ frac {1} {pq} [/ matemáticas]

Esto sucederá (x + y) debería ser un factor de xy.

Nuevamente, para x = n, y debería ser [matemática] n ^ 2-n = n (n-1) [/ matemática] da [matemática] \ frac {1} {n-1} = \ frac {1} { pq} [/ math] para que esto suceda n-1 debe ser un número compuesto.

Ahora necesitamos la lista de números compuestos que podrían escribirse como el producto de dos primos.

6,10,14,15,21,22,26,33,34,35,…

Le pediré a The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences® (OEIS®) que me ahorre tiempo

6 , 10 , 14 , 15 , 21, 22, 26, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 69, 74, 77, 82, 85, 86, 87, 91, 93, 94, 95, 106, 111, 115, 118, 119, 122, 123, 129, 133, 134, 141, 142, 143, 145, 146, 155, 158, 159, 161, 166, 177, 178, 183, 185, 187, 194, 201, 202, 203, 205 (enlace)

¡Lo llaman semiprimes sin cuadrados!

Las respuestas son: –

(7,42) → (2,3)

(11,110) → (2,5)

(15,210) → (2,7)

(21,420) → (3,7)

…

Editar 1:

Tenía prisa por suponer que y debería ser x ^ 2-x.

¡Shakir Ahmed ya ha dado casos excepcionales!

Answer 2

* A2A *

Tenga en cuenta que,

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {x} + \ frac {1} {y} = \ frac {1} {pq} \ tag {1} [/ matemáticas]

se puede reorganizar como

[matemáticas] \ displaystyle x = \ frac {pqy} {y – pq} = pq + \ frac {p ^ 2q ^ 2} {y – pq} \ tag {2} [/ math]

Recuerde que [math] x [/ math] debe ser un entero positivo, por lo tanto, [math] (y – pq) \ mid p ^ 2q ^ 2 [/ math]. Debería poder encontrar la cantidad de soluciones desde aquí.

Answer 3

Hay un número infinito de primos [matemática] p [/ matemática] y [matemática] q [/ matemática]. Por lo tanto, se pueden formar enteros compuestos infinitos por su producto [math] p \ cdot q [/ math]

Si los enteros positivos xey satisfacen la ecuación [matemática] 1 / x + 1 / y = 1 / pq [/ matemática]

Luego hay enteros compuestos infinitos [matemática] pq = \ frac {xy} {(x + y)} [/ matemática]

No sería posible tener un número infinito de [math] p \ cdot q [/ math] con un número finito de enteros positivos [math] x [/ math] y [math] y [/ math].

Entonces, habría un número infinito de enteros positivos que satisfagan la ecuación [matemáticas] 1 / x + 1 / y = 1 / pq [/ matemáticas]

Intente ver algún patrón en las soluciones para la ecuación anterior:

1/7 + 1/42 = 1/2 * 3 (1/7 + 1/6 * 7 = 1/2 * 3)

1/8 + 1/24 = 1/2 * 3 (1/8 + 1/3 * 8 = 1/2 * 3)

1/9 + 1/18 = 1/2 * 3 (1/9 + 1/2 * 9 = 1/2 * 3)

1/10 + 1/15 = 1/2 * 3 (1/2 * 5 + 1/3 * 5 = 1/2 * 3)

1/11 + 1/110 = 1/2 * 5 (1/11 + 1/10 * 11 = 1/2 * 5)

1/12 + 1/60 = 1/2 * 5 (1/12 + 1/5 * 12 = 1/2 * 5)

1/14 + 1/35 = 1/2 * 5 (1/2 * 7 + 1/5 * 7 = 1/2 * 5)

1/15 + 1/30 = 1/2 * 5 (1/3 * 5 + 1/2 * 3 * 5 = 1/2 * 5)

1/15 + 1/210 = 1/2 * 7 (1/15 + 1/14 * 15 = 1/2 * 7)

1/16 + 1/112 = 1/2 * 7 (1/16 + 1/7 * 16 = 1/2 * 7)

1/18 + 1/63 = 1/2 * 7 (1/2 * 9 + 1/7 * 9 = 1/2 * 7)

1/21 + 1/42 = 1/2 * 7 (1/3 * 7 + 1/2 * 3 * 7 = 1/2 * 7)

1/16 + 1/240 = 1/3 * 5 (1/16 + 1/15 * 16 = 1/3 * 5)

1/18 + 1/90 = 1/3 * 5 (1/18 + 1/5 * 18 = 1/3 * 5)

1/20 + 1/60 = 1/3 * 5 (1/20 + 1/3 * 20 = 1/3 * 5)

…

Answer 4

Este tipo de problema ha sido publicado varias veces antes. Miraré la ecuación más general

[matemáticas] \ frac {1} {x} + \ frac {1} {y} = \ frac {1} {n} [/ matemáticas],

donde [math] n \ in \ mathbb N [/ math], y busca soluciones [math] (x, y) \ in \ mathbb N \ times \ mathbb N [/ math].

Simplificar y reorganizar da [matemática] xy-n (x + y) = 0 [/ matemática], y

[matemáticas] (xn) (yn) = n ^ 2 [/ matemáticas].

Para cada divisor [matemática] d [/ matemática] de [matemática] n ^ 2 [/ matemática] (incluyendo negativo [matemática] d [/ matemática]), obtenemos

[matemáticas] xn = d [/ matemáticas], [matemáticas] yn = \ frac {n ^ 2} {d} [/ matemáticas].

Por lo tanto

[matemáticas] x = n + d [/ matemáticas], [matemáticas] y = n + \ frac {n ^ 2} {d} [/ matemáticas].

Tenga en cuenta que si [math] d <0 [/ math], entonces [math] \ max \ {- d, - \ frac {n ^ 2} {d} \} \ ge n [/ math]. Entonces [math] d <0 [/ math] implica que uno de [math] x, y [/ math] es como máximo [math] 0 [/ math]. Por lo tanto, el número de pares [matemática] (x, y) [/ matemática] de enteros positivos es igual al número de divisores (positivos) de [matemática] n ^ 2 [/ matemática]. Con [math] n [/ math] escrito como producto de los poderes primos [math] p_i ^ {e_i} [/ math], el número de divisores es el producto de los términos [math] (2e_i + 1) [/ math] . Para resaltar esta respuesta, el número de soluciones es

[matemáticas] (2e_1 + 1) (2e_2 + 1) \ cdots (2e_k + 1) [/ matemáticas],

donde [math] n = p_1 ^ {e_1} p_2 ^ {e_2} \ cdots p_k ^ {e_k} [/ math] es la descomposición principal de [math] n [/ math]. Solo hay una solución para [matemáticas] n = 1: \ frac {1} {2} + \ frac {1} {2} = \ frac {1} {1} [/ matemáticas].

En particular, para [math] n = pq [/ math], donde [math] p [/ math] y [math] q [/ math] son ​​primos, obtenemos el número de divisores de [math] n [/ matemáticas] igual a [matemáticas] 9 [/ matemáticas].

Answer 5

Aquí hay un par de observaciones:

• 1/X+1/Y=1/N es equivalente a (XN)(YN)=N^2
• si la factorización prima de N es N = p1^i1*p2^i2*...*pk^ik entonces la respuesta es (2*i1+1)(2*i2+1)...(2*ik+1)

Answer 6

Como lo ha hecho Arun Iyer, podemos obtener el valor de x en términos de y, p & q. Aquí está :
x = ypq / (y-pq) = pq + (pq) ^ 2 / (y-pq).
Como x es un número entero positivo, (y-pq) debería ser un factor positivo de (pq) ^ 2.
Como p & q son primos distintos, (pq) ^ 2 tiene 9 factores: 1, p, q, p ^ 2, q ^ 2, pq, qp ^ 2, pq ^ 2 & (pq) ^ 2.

y puede tomar 9 valores como (pq + 1), (pq + p), 2pq, etc., haciendo de x un número entero.

Para primos distintos dados p y q, hay 9 pares de enteros positivos que satisfacen una condición dada.

Answer 7

Deje que x e y sean 30

Por lo tanto 2 primos son 3 y 5