¿Cuál es el resto cuando 2 ^ 70 se divide por 96?

Answer 1

64

He visto muchas variedades y variantes de respuesta para esta pregunta en particular, sin duda algunas de ellas son realmente excelentes, espero que el interlocutor esté satisfecho.

Además, mi enfoque no es diferente de los otros matemáticos de Quora, pero debido a algunos pasos clave utilizados, todavía me gustaría mostrarle la solución,

Así que ahí voy,

Como sabemos, [matemáticas] 2 [/ matemáticas] [matemáticas] ^ {70} [/ matemáticas] = 2 * 2 * 2 *… .. total 70 veces

También tenemos propiedades:

Propiedades de la congruencia de módulos:

Si

[matemáticas] A_1 ≡ B_1 [/ matemáticas] mod m; y [matemáticas] A_2 ≡ B_2 [/ matemáticas] mod m;

Entonces

[matemáticas] A_1 * A_2 ≡ B_1 * B_2 [/ matemáticas] mod m; ……………. (1)

[matemáticas] A_1 + A_2 ≡ (B_1 + B_2) [/ matemáticas] mod m; …………. (2)

[matemática] A_1 * k ≡ B_1 * k [/ matemática] mod m; ……………… .. (3)

[matemática] A_1 ≡ (B_1-m) [/ matemática] mod m; ………………. (4)

[matemáticas] A_1 ≡ (B_1 + m) [/ matemáticas] mod m; …………………. (5)

[matemática] A_1 ^ n ≡ B_1 ^ n [/ matemática] mod m; ……………… (6)

Además, no hay IA que pueda calcular [matemática] 2 [/ matemática] [matemática] ^ {70} [/ matemática] pero usemos las propiedades anteriores para obtener lógicamente la solución

Entonces podemos comenzar por

[matemática] 2 ^ 9 = 512 [/ matemática] ≡ 32 mod 96 ma [matemática] 2 ^ 5 [/ matemática] mod 96;

Por lo tanto, [matemática] 2 ^ 9 [/ matemática] ≡ [matemática] 2 ^ 5 [/ matemática] mod 96; lo que significa que cada [matemática] 2 ^ 9 [/ matemática] deja [matemática] 2 ^ 5 [/ matemática] como recordatorio;

También 70 = 63 + 7 = 9 * 7 + 6;

Por lo tanto

[matemáticas] (2 ^ 9) ^ 7 [/ matemáticas]

[matemáticas] ≡ (2 ^ 5) ^ 7 [/ matemáticas] mod 96

[matemáticas] ≡2 ^ {35} [/ matemáticas] mod 96 [matemáticas] [/ matemáticas]

[matemáticas] ≡2 ^ 9 * 2 ^ 9 * 2 ^ 9 * 2 ^ 8 [/ matemáticas] mod 96

[matemáticas] ≡2 ^ 5 * 2 ^ 5 * 2 ^ 5 * 2 ^ 8 [/ matemáticas] mod 96

[matemáticas] ^2 ^ 9 * 2 ^ 9 * 2 ^ 5 [/ matemáticas] mod 96

[matemáticas] ≡2 ^ 5 * 2 ^ 5 * 2 ^ 5 [/ matemáticas] mod 96

[matemáticas] ≡2 ^ 9 * 2 ^ 6 [/ matemáticas] mod 96

[matemáticas] ≡2 ^ {11} [/ matemáticas] mod 96

[matemáticas] ≡2 ^ 7 [/ matemáticas] mod 96;

Por lo tanto

[matemáticas] 2 ^ {63} ≡2 ^ 7 [/ matemáticas] mod 96

Lo que implica que

[matemáticas] 2 ^ {63} * 2 ^ 7 [/ matemáticas]

[matemáticas] ≡2 ^ 7 * 2 ^ 7 [/ matemáticas] mod 96

[matemáticas] ≡2 ^ {14} [/ matemáticas] mod 96

[matemáticas] ≡2 ^ 9 * 2 ^ 5 [/ matemáticas] mod 96

[matemáticas] ≡2 ^ 5 * 2 ^ 5 [/ matemáticas] mod 96

[matemáticas] ≡2 ^ 9 * 2 [/ matemáticas] mod 96

[matemáticas] ≡2 ^ 5 * 2 [/ matemáticas] mod 96

[matemáticas] ≡2 ^ 6 [/ matemáticas] mod 96

[matemáticas] ≡64 [/ matemáticas] mod 96

Por lo tanto, [matemática] 2 ^ {70} ≡64 [/ matemática] mod 96;

Recordatorio es 64 ;

También te puede interesar: la respuesta de Syed Ali Asgar a ¿Cuál es el resto cuando [matemáticas] 3 ^ {147} [/ matemáticas] se divide por 11?

Espero que esto ayude..

[matemática] \ Enorme {\ Enorme {\ Enorme {\ color {azul} {{\ ddot \ smile} {\ ddot \ smile}}}}} [/ math]

[matemáticas] \ Enormes {\ Enormes {\ Enormes {\ Enormes {\ color {# 0f0} {\ marca de verificación}}}}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Enorme {¡Paz!} [/ matemáticas]

Answer 2

Como 70 y 96 no son coprimos, no podemos usar el teorema de Euler aquí, pero podemos usar el Teorema del resto chino (CRT) aquí.

96 = 32 × 3 y mcd (32,3) = 1, así que, primero, encontremos 2 ^ 70 mod 3 y 2 ^ 70 mod 32.

Como 2 mod 3 = -1,
2 ^ 70 mod 3 = (-1) ^ 70 mod 3 = 1 .

2 ^ 70 mod 32 = (2 ^ 5) ^ 14 mod 32
= 32 ^ 14 mod 32 = 0 .

Por CRT, un número que tiene mod 32 = 0 y mod 3 = 1 en el rango 0-96 debería ser el resto.
Por golpe y técnica de prueba, obtenemos fácilmente:
Resto = 64 .

El método 2 está mal . En lugar de escribir R (a / b), denótelo con un mod b. Tu notación es bastante confusa.
R (128 ^ 10/96)
= R [R (128/96) ^ 10/96]
= R {[32 ^ 10/96}

Espero que hayas entendido tu error.

Answer 3

[matemáticas] \ phi (96) = 96 \ left (1- \ dfrac {1} {2} \ right) \ left (1- \ dfrac {1} {3} \ right) = 32 [/ math]

Resto = [matemática] 2 ^ {(70 \ mod 32)} \ mod 96 [/ matemática]

[matemáticas] = 2 ^ 6 \ mod 96 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 64 [/ matemáticas]

HECHO !!!

Answer 4

2 ^ 70/96
= 128 ^ 10/96
= 32 ^ 10/96
= (2 ^ 5) ^ 10/96
= 2 ^ 50/2 ^ 5 * 3
Resto de ka / kb = k (a / b)
= 2 ^ 5 * (2 ^ 45/3)
= 2 ^ 5 * (-1 ^ 45/3)
= 2 ^ 5 * (-1/3)
= 2 ^ 5 * 2
= 64 -> resto

Answer 5

2 ^ 70/96 =. (2 ^ 7) ^ 10/96 =. 128 ^ 10/96 (128 se divide por 96 y el resto es 32). = 32 ^ 10/96 =. (32) ^ 10/96 =. (32 ^ 2) 5/96 = 64 ^ 5/96 = (64 ^ 5 se escribe como 64 ^ 4 × 64 ^ 1). 64 ^ 4 × 64 ^ 1/96 =. (64 ^ 2) ^ 2 × 64/96 =. 64 ^ 2 × 64/96 =. 64 × 64/96 = Respuesta 64

Answer 6

2 ^ 70

≡ (2 ^ 7) ^ 10

≡ (96 + 32) ^ 10

≡32 ^ 10

≡2 ^ 50

≡2 (2 ^ 7) ^ 7

≡2 * 32 ^ 7

≡2 * 2 ^ 35

≡2 * (2 ^ 7) ^ 5

≡2 * 32 ^ 5 = 2 * (2 ^ 5) ^ 5

≡2 ^ 5 * (2 ^ 7) ³

≡32 * 32³

≡2 ^ 20

≡ (2 ^ 7) ² * 2 ^ 6

≡32² * 64

≡2 ^ 16

= 4 (2 ^ 7) ²

≡4 * 32 * 32

≡4 (960 + 64)

≡4 * 64

= 256

≡192 + 64

Mod64mod96