Me he topado con una especie de progresión combinatoria simétrica, como se ilustra:
Dejame explicar….
Primero, tenga en cuenta que los factores primos se rigen por la combinatoria. Las posibles permutaciones del mínimo factor primo (LPF) [matemática] 3 [/ matemática] tienen una recurrencia de [matemática] 2 \ cdot3 = 6 [/ matemática].
- Supongamos que [math] p [/ math] varía en números primos, ¿podemos demostrar que [math] \ Sigma \ frac {1} {p} [/ math] es infinito?
- ¿Cuál es el resto cuando [matemáticas] 2 ^ {2016} [/ matemáticas] se divide por [matemáticas] 13 [/ matemáticas]?
- ¿Cuál es el resto cuando 1 ^ 2015 + 2 ^ 2015 + 3 ^ 2015 + .. + 2014 ^ 2015 se divide por 2016?
- ¿En qué medida, si la hay, la teoría de números ayuda a explicar las propiedades emergentes en física?
- ¿Cuáles son las particiones de un número?
[matemáticas] 3, 2, n_ {1}, 2, n_ {2}, 2, 3 [/ matemáticas]
Es decir, [matemáticas] 3 [/ matemáticas] es el factor primo más pequeño de cada número [matemáticas] 6 [/ matemáticas].
[matemáticas] 9 = 3 \ cdot3 \\ 10 = 2 \ cdot5 \\ 11 = 1 \ cdot11 \\ 12 = 2 \ cdot2 \ cdot3 \\ 13 = 1 \ cdot13 \\ 14 = 2 \ cdot7 \\ 15 = 3 \ cdot5 [/ math]
Esta secuencia gobierna la posible posición de todos los primos y primos gemelos (como se ilustra en [matemáticas] 11 [/ matemáticas] y [matemáticas] 13 [/ matemáticas]) y la recurrencia de todos los factores primos mínimos [matemáticas]> 3 [/ matemática] – y es simétrica. Cada primo y cada compuesto para el que el LPF no es [matemática] 2 [/ matemática] o [matemática] 3 [/ matemática] debe ser [matemática] n_ {1} [/ matemática] o [matemática] n_ {2}. [/matemáticas]
Ahora observe que cuando multiplicamos los factores primos mínimos, cada producto es un punto fijo combinatorio. Un punto fijo define el tamaño del intervalo en el que se repiten todas las permutaciones. Todas las permutaciones posibles de los LPF de ese punto fijo existen en el conjunto de compuestos de este intervalo de recurrencia . Todas las permutaciones de LPF de [matemática] 2 [/ matemática] y [matemática] 3 [/ matemática] y [matemática] 5 [/ matemática] existen dentro de un intervalo de recurrencia de [matemática] 30 [/ matemática]:
Tenga en cuenta que [math] 7 [/ math] no pertenece a este intervalo de recurrencia porque tiene un punto fijo de [math] 210 [/ math] ([math] 2 \ cdot3 \ cdot5 \ cdot7 [/ math]).
Los LPF son simétricos en espejo alrededor del punto medio del intervalo de recurrencia. Es decir, todas las permutaciones expresadas en la primera mitad del intervalo de recurrencia se repiten a la inversa en la segunda mitad.
Considere el intervalo de recurrencia para LPFs [matemática] 2, 3, 5, 7 [/ matemática] y [matemática] 11 [/ matemática]. El punto fijo es: [matemáticas] 2 \ cdot3 \ cdot5 \ cdot7 \ cdot11 = 2,310 [/ matemáticas]
Cuando graficamos la distribución de LPF [matemática] 11 [/ matemática], vemos la simetría especular precisa en los espacios entre cada instancia de LPF [matemática] 11 [/ matemática].
Resulta que los primos gemelos están encerrados en este esquema combinatorio de una manera interesante. La simetría no se revela por los espacios entre primos gemelos, sino en su relación con los puntos fijos. Si [matemática] P [/ matemática] o [matemática] P + 2 [/ matemática] se resta del punto fijo, la [matemática] N [/ matemática] y [matemática] N + 2 [/ matemática] resultante tienen un probabilidad mucho mayor de lo esperado de ser primos gemelos también. Por ejemplo:
He examinado esta propiedad para los siguientes intervalos combinatorios, y puede descargar los resultados (en formato xlsx):
2 * 3 * 5 = 30
2 pares distintos
2 * 3 * 5 * 7 = 210
12 pares distintos
2 * 3 * 5 * 7 * 11 = 2,310
32 pares distintos
2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 = 30,030
132 pares distintos
2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 * 17 = 510,510
956 pares distintos
2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 * 17 * 19 = 9.699.690
8.774 pares distintos (3 MB)
2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 * 17 * 19 * 23 = 223,092,870
97,114 pares distintos (Advertencia: 49 MB)
Tenga en cuenta que un par distinto es dos pares de primos gemelos. (La frecuencia de estos pares es en realidad el doble que debido a la simetría de las permutaciones, es decir, cada emparejamiento que ocurre en la primera mitad del intervalo de recurrencia se refleja en la segunda mitad). En las hojas de trabajo, una fila que es toda roja son dos pares de gemelos. A la izquierda, todos los pares son primos gemelos (negro o rojo). A la derecha, los primos individuales también se muestran en rojo.
También he examinado este patrón para números primos simples: ¿Hay algún patrón que no sea 6k + 1 o 6k-1 para encontrar números primos?