Supongamos que [math] p [/ math] varía en números primos, ¿podemos demostrar que [math] \ Sigma \ frac {1} {p} [/ math] es infinito?

Answer 1

Sí, la suma es infinita y el boceto que diste puede usarse para probarlo. Por el teorema del número primo

[matemáticas] p_n \ aprox n \ log n [/ matemáticas]

Específicamente, dado [math] \ epsilon> 0 [/ math] existe N tal que para todo n> N

[matemáticas] (1 – \ epsilon) n \ log n <p_n <(1 + \ epsilon) n \ log n [/ math]

Para mostrar la suma diverge podemos usar el límite superior y establecer [math] \ epsilon = 1/2 [/ math] para obtener que existe N tal que para todo n> N

[matemáticas] \ frac {3} {2} n \ log n> p_n [/ matemáticas]

De esto obtenemos un límite inferior en la suma …

[matemáticas] \ sum_n p_n = \ sum_ {n \ le N} p_n + \ sum_ {n \ gt N} p_n [/ math]

[matemáticas]> K + \ sum_ {n \ gt N} \ frac {1} {\ frac {3} {2} n \ log n} [/ matemáticas]

[matemáticas]> \ frac {2} {3} \ sum_ {n \ gt N} \ frac {1} {n \ log n} [/ matemáticas]

Donde K es alguna constante igual a la suma sobre los primeros N primos. Por lo tanto, es suficiente mostrar que [math] \ sum_ {n \ gt N} \ frac {1} {n \ log n} [/ math] diverge.

Usando la prueba integral de convergencia podemos mostrar que la suma diverge. Deje [math] u = \ log x, du = \ frac {1} {x} dx [/ math]. Entonces

[matemáticas] \ int \ frac {1} {x \ log x} dx [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ int \ frac {1} {u} du [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ log u [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ log \ log x [/ matemáticas]

Y [matemáticas] \ log \ log x | _ {x = N} ^ {\ infty} = \ infty [/ math] por lo que la serie diverge.

Answer 2

La desigualdad sobre la subsecuencia a n log (n) es suficiente para probar la divergencia mediante la prueba integral. Puedes leer varias pruebas clásicas aquí:

Divergencia de la suma de los recíprocos de los números primos.

Answer 3

Si. Creo que puede encontrar la prueba en el libro “Introducción a la teoría analítica de números”, nunca leí ese libro, pero creo que es uno de los mejores libros introductorios en la teoría analítica de números. El autor es Tom Apostol.

Oh, aquí hay un enlace:

http://www.shareup.meximas.com/S …

El único libro que leí en cada detalle es de Davenport, pero estoy seguro de que el libro de Apostol es más accesible y en realidad tiene más materiales cubiertos. Si está interesado en la pregunta que hizo, puede estar interesado en leer el libro de Apostol o el libro de Davenport, creo que hay una nueva versión revisada por Montgomery y Vaughan, recuerdo que revisé el libro brevemente hace un tiempo sin leer los detalles .

El libro de Apostol se puede descargar gratis, pero el libro de Davenport revisado por Montomery (recuerdo que hay otro libro de Vaughan quizás con Montgomery) puede que no se descargue gratis. Pero, puede seguir este enlace para averiguarlo:

Teoría de números multiplicativos (Textos de posgrado en matemáticas) (v. 74): Harold Davenport, HL Montgomery: 9780387950976: Amazon.com: Libros

Creo que estos dos libros se encuentran entre las mejores introducciones al tema en la teoría de números analítica, con énfasis en la teoría de números multiplicativos con una pequeña porción de la teoría de números aditivos, ambos son componentes clave de la teoría de números analíticos en una dirección.

Answer 4

Si. Esta es la prueba de Euler de que hay infinitos números primos. Es a partir de esto que a Dirichlet se le ocurrió la prueba de su teorema sobre números primos en progresiones aritméticas, introduciendo funciones L.