¿Cuál es el resto cuando 1 ^ 2015 + 2 ^ 2015 + 3 ^ 2015 + .. + 2014 ^ 2015 se divide por 2016?

Answer 1

Me gusta este tipo de problema. Hay una simetría, ya que cada término tiene la forma? ^ 2015, ¿dónde? es un entero positivo

Considere la expresión (a + [2016-a]) ^ 2015, donde a es un número entero positivo. Esto es 0 mod 2016, ya que es equivalente a (2016) ^ 2015.

Ahora usa el teorema binomial.

Esto da un ^ 2015 + 2016C1 * a ^ 2014 * (2016-a) +… + 2016C5 * a ^ 1 * (2016-a) ^ 2014 + (2016-a) ^ 2015. Todos excepto el primer término y el último término son divisibles para 2016. (Probar que este es un pequeño ejercicio agradable).

Por lo tanto, a ^ 2015 + (2016-a) ^ 2015 es congruente con 0 mod 2016 si a es un número entero positivo. Estoy seguro de que puedes usar algo de simetría y tomarla desde aquí.

Si realmente no está seguro, intente agregar un término 2015 ^ 2015 a la pregunta y restarlo más tarde. Entonces puedes emparejar términos como este:

(1 ^ 2015 + 2015 ^ 2015) + (2 ^ 2015 + 2014 ^ 2015) +… + (1007 ^ 2015 + 1009 ^ 2015) + 1008 ^ 2015 – 2015 ^ 2015.

No estropearé el resto: siempre hay una cierta alegría de verlo juntarse solo. 🙂

Answer 2

[matemáticas] N = 1 ^ {2015} + 2 ^ {2015} + 3 ^ {2015} + \ cdots + 2012 ^ {2015} + 2013 ^ {2015} + 2014 ^ {2015} [/ matemáticas]

Sabemos [matemáticas] 2014 ^ {2015} \ equiv (-2 ^ {2015}) ​​\ text {(mod} 2016) [/ matemáticas]

[matemáticas] N \ equiv 1 ^ {2015} + 2 ^ {2015} + 3 ^ {2015} + \ cdots-4 ^ {2015} -3 ^ {2015} -2 ^ {2015} [/ matemáticas]

Conozca la mayoría de los términos cancelar, PERO

No sabemos dónde van a terminar en el medio (si queda un número o algo así) (podemos calcularlo pero hará que las cosas sean más largas que esto)

Entonces escribe lo mismo pero cambiando la secuencia

[matemáticas] N \ equiv 1 ^ {2015} + 2 ^ {2015} + 3 ^ {2015} + \ cdots-3 ^ {2015} -2 ^ {2015} [/ matemáticas]

[matemáticas] N \ equiv 1 ^ {2015} -2 ^ {2015} -3 ^ {2015} + \ cdots + 3 ^ {2015} + 2 ^ {2015} [/ matemáticas]

No he cambiado la secuencia de [matemáticas] 1 ^ {2015} [/ matemáticas]

Sumando

[matemáticas] 2N \ equiv 2 \ veces 1 ^ {2015} \ equiv 2 [/ matemáticas]

[matemática] \ Grande \ en caja {N \ equiv 1} [/ matemática]

¡Espero eso ayude!

Answer 3

La respuesta a la pregunta SÍ MISMO es 33. No se supone que los terrones tengan 2015 ^ 2015, solo 2014 ^ 2015.

Pero usando 2015, es 1.

x = 1
y = 0
mientras x <= 2015:
y + = int (x ** 2015)
z = y% 2016
x + = 1
si x == 2015:
imprimir (z)
más:
z = 0

Answer 4

① 2014 ^ 2015≡ (2016–2) ^ 2015≡— (2 ^ 2015mod 2016) cancela con el segundo mandato

② 1007 ^ 2005≡-1012 ^ 2005 … emparejar con 1019 ^ 2015

Hat Eso nos deja 1 ^ 2015 ≡ 1 mod2016 y 1008 ^ 2015≡? mod2016, sin emparejar.

Rem (1008 ^ 2015/2016)

≡Rem (1008 × (1008 ^ 2014) / 2016

≡ (1008/1008) Rem (1008 ^ 2014/2)

≡ (1008/1008) × {1008 ^ 2014 mod2}

≡ (1008/1008) {{1024–16} ^ 2014mod2}

≡ (1008/1008) {16 ^ 2014 mod2}

≡ (1008/1008) {(2 ^ 4) ^ 2014 mod2}

≡ (1013/1013) {0 mod 2}

Mod 0 mod2016

③ ∴ Resto de red cuando {1 ^ 2015 + 2 ^ 2015 + 3 ^ 2015 + …… + 2014 ^ 2015}

se divide por 2016 = 1 + 0 = 1

Answer 5

2015 es una potencia extraña, por lo que observaremos que [matemáticas] x ^ {2015} \ equiv -1 \ veces (-x) ^ {2015} \ pmod {2016} [/ matemáticas] donde [matemáticas] -x [/ matemáticas] es el inverso aditivo de [matemáticas] x [/ matemáticas] módulo [matemáticas] 2016. [/ matemáticas] Es decir, [matemáticas] x ^ {2015} + (- x) ^ {2015} \ equiv 0 [/ matemáticas]. Esto significa que podemos emparejar inversos aditivos, lo que nos dice que [math] \ sum_ {i = 1} ^ {2015} {i ^ {2015}} \ pmod {2016} \ equiv 0. [/ Math] [math] 2015 \ equiv -1 \ pmod {2016} [/ math] y cuando se eleva a la potencia 2015 da [math] -1 [/ math], por lo que la respuesta deseada es una.

Answer 6

1 ^ 2015 + 2 ^ 2015 + 3 ^ 2015 +…. + 2014 ^ 2015/2016
= 1 ^ 2015 + 2 ^ 2015 + …… + 1008 ^ 1015 -1007 ^ 1015 – 1006 ^ 1015 -… ..- 3 ^ 2015 – 2 ^ 2015/2016
Todos los términos se cancelarán excepto 1 ^ 2015 y 1008 ^ 2015
= 1 ^ 2015 + 1008 ^ 2015/2016
= 1 + 0/2016
= 1/2016
= 1 -> resto.