¿Cómo probaría que [matemáticas] x ^ {2n} + y ^ {2m} = z ^ k [/ matemáticas], no tiene solución en enteros positivos distintos?

Answer 1

Debo decir que estoy un poco confundido por algunos de los comentarios sobre esta pregunta. De todos modos, la pregunta es si hay alguna solución para [matemáticas] x ^ {2n} + y ^ {2m} = z ^ {2k} [/ matemáticas] donde n, m y k son enteros mayores que 1 y x , y, y z son enteros positivos coprimos.

Estaba leyendo la Teoría de números de Henri Cohen , Volumen II: Herramientas analíticas y modernas en la que analiza la “ecuación de Super Fermat” [matemáticas] Ax ^ k + By ^ m + Cz ^ n = 0 [/ matemáticas] (fijo, distinto de cero A , B, C) en gran detalle. Él dice que el caso donde [matemáticas] \ frac {1} {k} + \ frac {1} {m} + \ frac {1} {n} <1 [/ matemáticas] es "por lejos el caso más difícil, "Y aquí es donde radica tu pregunta. Lo que se ha demostrado es que solo puede haber finitamente muchas soluciones coprima para cada triplete (k, m, n). Además, si se cumple la famosa conjetura abc, entonces el número total de soluciones primarias para [matemática] x ^ k \ pm y ^ m \ pm z ^ n = 0 [/ matemática] donde [matemática] \ frac {1} {k } + \ frac {1} {m} + \ frac {1} {n} <1 [/ math] es finito, incluso permitiendo que k, m, yn varíen.

El texto solo da algunos resultados parciales. No menciona su ecuación en particular, sin embargo, esta afirmación sobre la conjetura abc significa que si la conjetura abc es verdadera, solo finitamente muchas ecuaciones de la forma [matemáticas] x ^ {2n} + y ^ {2m} = z ^ { 2k} [/ math] con sus condiciones puede tener una solución. Por lo que puedo decir, el resultado que busca no está probado, a menos que se haya probado en los últimos 9 años, ya que el libro de Cohen se publicó en 2007. No pude encontrar otra información sobre esta ecuación con una búsqueda rápida en Google.

Answer 2

¿Cómo habría demostrado Pitágoras, etc.?

Pitágoras no lo habría probado. Los antecedentes necesarios en teoría de números no estaban disponibles para los pitagóricos. Apenas tenían el concepto de un número irracional. Hoy en día, por supuesto, tenemos un modelo bastante completo de la forma de los triples pitagóricos, y probablemente podríamos explicar nuestro razonamiento a tales hombres con cuidado, pero si fuera el tipo de cosas que estaban preparados para demostrar su valía en ese entonces, ¿Por qué no lo hicieron?