Hay una relación de congruencia relacionada con la ciclicidad que, hasta donde yo sé, no ha sido estudiada por los matemáticos. Lo encontré a través de una ruta tortuosa definiendo una función alternativa para la conjetura de Collatz, y eso fue solo por accidente. Déjame mostrarte de qué se trata esta congruencia con el caso de [matemáticas] 3n + 5 [/ matemáticas]; luego volveré a [matemáticas] 3n + 1 [/ matemáticas] para decirte por qué es diferente.
(Para mantener esto breve y al grano, voy a hacer tres declaraciones a pie de página para descargar parte de la explicación).
Mire este gráfico, que muestra la secuencia de bucle para [matemática] 3n + 5 [/ matemática] donde [matemática] n = 27 [/ matemática].
- ¿Cómo probaría que [matemáticas] x ^ {2n} + y ^ {2m} = z ^ k [/ matemáticas], no tiene solución en enteros positivos distintos?
- ¿Cómo se puede saber el número de enteros [matemática] n [/ matemática] para los cuales [matemática] 3x ^ 3-25x + n = 0 [/ matemática] tiene 3 raíces reales?
- ¿Cuáles son las conjeturas más conocidas sobre los enteros en forma de [matemáticas] 2 ^ n-1 [/ matemáticas]?
- Deje p y q ser primos distintos. El número de enteros positivos que satisfacen la ecuación [matemática] \ frac {1} {x} + \ frac {1} {y} = \ frac {1} {pq} [/ matemática] es?
- ¿Cuál es el resto cuando 2 ^ 70 se divide por 96?
La sección de esta secuencia que produce este ciclo es: [matemáticas] 49,152,76,38,19,62,31,98,49 [/ matemáticas].
Ahora, debemos buscar una congruencia de estos números con [math] 5 [/ math]. [1]
[matemáticas] 5 \ equiv 49 [/ matemáticas] (mod [matemáticas] 11 [/ matemáticas])
¿Por qué [matemáticas] 11 [/ matemáticas]? Bueno, no lo encontrarás en la secuencia normalmente generada. Sin embargo, está ahí en cierto sentido, pero la función convencional de tipo Collatz no puede generarlo. Para ver de dónde proviene [matemática] 11 [/ matemática], necesita ver la secuencia representada por (un superconjunto de) números impares solamente: [matemática] 49,11,19,31,49 [/ matemática]. [2]
La regla para agregar los números impares “ocultos” es seleccionar cada número impar de la secuencia regular que tenga la forma [matemática] nx [/ matemática] [matemática] \ equiv 0 [/ matemática] (mod [matemática] 4 [ /matemáticas]). Luego divida [math] nx [/ math] entre [math] 4 [/ math]. De modo que [matemáticas] \ frac {49–5} {4} = 11 [/ matemáticas]. (Este es un método abreviado para encontrar los elementos de superconjunto de un conjunto impar).
El gráfico ilustra que la secuencia impar es una operación inversa en el sentido de que cada número par en la secuencia convencional es cero, restado de sí mismo, para la secuencia impar. Así:
Par / impar: [matemáticas] 49,152,76,38,19,62,31,98,49 [/ matemáticas]
Impar: [matemáticas] 49,0,0 (11), 0,19,0,31,0,49 [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que el número impar oculto se produce cuando hay tres o más números pares en una secuencia. [3]
Ciclo de congruencia
El ejemplo de congruencia dado anteriormente es extremadamente significativo porque es el marcador que todos los bucles tienen en común. Mi definición para el “marcador de congruencia de un bucle” es:
La diferencia entre [matemáticas] n [/ matemáticas] y [matemáticas] x [/ matemáticas] es divisible por un número impar consecutivo (donde [matemáticas] n [/ matemáticas] y [matemáticas] x [/ matemáticas] se definen por [matemáticas] 3n + x [/ matemáticas] ).
Para cada ciclo, espere encontrar: [matemática] x [/ matemática] [matemática] \ equiv [/ matemática] [matemática] {n_o} {_ 1} [/ matemática] (mod [matemática] {n_o} {_ 2} [ / math]) si miramos el superconjunto impar de la secuencia.
Módulo 1, 3, 4
En una serie, algunos números pares e impares alternos se emparejan por división entre [matemáticas] 4 [/ matemáticas]. (De hecho, muchos de ellos lo son). Aquí hay un grupo en secuencia [matemáticas] 27 [/ matemáticas]:
1732 , 866, 433 , 1300 , 650, 325 , 976 , 488, 244 , 122, 61
La congruencia de [matemáticas] 4k [/ matemáticas] y [matemáticas] k [/ matemáticas] debe ser módulo [matemáticas] 3 [/ matemáticas]. El número par, que es [matemática] 3n + 1 [/ matemática], debe ser congruente con [matemática] 0 [/ matemática] (mod [matemática] 4 [/ matemática]) para ser divisible por [matemática] 4 [/matemáticas]. (Tenga en cuenta que habrá dos divisiones pares en todos estos casos).
Por lo tanto, podemos decir: Si [math] 4k \ equiv 0 [/ math] (mod [math] 4 [/ math]) entonces [math] k \ equiv 0 [/ math] (mod [math] 1 [/ math ]). Solo podemos estar seguros de que el módulo más pequeño es igual a [math] x [/ math] si [math] x = 1 [/ math].
La distinción de uno
Si [math] x = 1 [/ math], [math] n [/ math] o el módulo pueden ser pares. Pero ninguno de los elementos puede ser par para satisfacer la definición de que [matemática] n [/ matemática] es impar y la [matemática] n [/ matemática] consecutiva es impar. Por lo tanto, hemos llegado a una contradicción. Si la paridad de [matemática] {n_1} [/ matemática] y [matemática] {n_2} [/ matemática] no es la misma, no puede haber una congruencia con [matemática] x = 1 [/ matemática].
A menos que [math] x \ geq 3 [/ math] este bucle basado en congruencia no pueda ocurrir.
Para [matemática] 1 [/ matemática], lo que queda es el bucle [matemática] 1 → 4 → 2 → 1 [/ matemática]. Es significativo en su insignificancia. Este tipo de bucle trivial también se aplica a cada [matemática] 3n + x [/ matemática] donde [matemática] n = x [/ matemática]. Instantáneamente descalifica a todos los demás [math] 3n + x [/ math] de ser candidatos para la no ciclicidad para todos los valores de [math] n [/ math].
Prueba: Si [matemática] n = x [/ matemática] entonces [matemática] 3n + x = 4x [/ matemática] y [matemática] \ frac {4x} {4} = x [/ matemática].
Para [matemática] 3n + 1 [/ matemática] donde [matemática] n> 1 [/ matemática], la congruencia de [matemática] 1 [/ matemática] con cualquier [matemática] n [/ matemática] mayor simplemente no es relevante. En otras palabras, [matemáticas] 3n + 1 [/ matemáticas] no tiene una calidad especial. Es solo que [math] 1 [/ math] es el punto de partida y el punto final de todos sus bucles (“trivial” y “complejo”).
Apéndice
Hemos respondido la pregunta para [math] x = 1 [/ math]. Sin embargo, hay un hilo que deberíamos vincular para [matemáticas] x> 1 [/ matemáticas]. No solo la diferencia entre un [matemático] n [/ matemático] y [matemático] x [/ matemático] impar es divisible por un número impar consecutivo, la solución es siempre [matemática] 4 [/ matemática]. Es esa [matemática] 4x [/ matemática] nuevamente. Si el ciclo es trivial o complejo, para volver al primer número del ciclo debe haber una división entre [matemática] 4 [/ matemática].
Por ejemplo, [matemáticas] n = 27 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = 17 [/ matemáticas]:
181, 41 , 35, 61, 11 , 25, 23, 43, 73, 59, 97, 77, 15 , 31, 55, 91, 145, 113, 89, 71, 115, 181
[matemáticas] 17 \ equiv 181 [/ matemáticas] (mod [matemáticas] 41 [/ matemáticas]) [matemáticas] = 4 [/ matemáticas]
[matemáticas] 17 \ equiv 61 [/ matemáticas] (mod [matemáticas] 11 [/ matemáticas]) [matemáticas] = 4 [/ matemáticas]
[matemáticas] 17 \ equiv 77 [/ matemáticas] (mod [matemáticas] 15 [/ matemáticas]) [matemáticas] = 4 [/ matemáticas]
La extraña función de Collatz
La función tiene tres clases de congruencia y operaciones aritméticas:
[matemáticas] f (n) = \ begin {cases} n + \ frac {n + x} {2} & \ mbox {if} n + x \ equiv 0 \ mbox {(mod} 4) \\ n- \ frac {nx} {4} & \ mbox {if} nx \ equiv 0 \ mbox {(mod} 8) \\ \ frac {n- \ frac {n + x} {2}} {2} & \ mbox {de lo contrario } \ end {casos} [/ math]
Donde [math] x [/ math] puede ser cualquier número impar ([math] \ geq 1 [/ math]).
Es más fácil de entender como un algoritmo rudimentario:
Si [matemática] n + x [/ matemática] es divisible por [matemática] 4 [/ matemática], multiplique por [matemática] 1.5 [/ matemática], reste [matemática] x [/ matemática]
Si [math] nx [/ math] es divisible por [math] 8 [/ math], multiplique por [math] 0.75 [/ math], agregue [math] x [/ math]
Si no, multiplica [matemáticas] nx [/ matemáticas] por [matemáticas] 0.25 [/ matemáticas]
¡Ayuda!
Matemáticos: Prueba de que [matemáticas] 3n + x [/ matemáticas] Las secuencias de tipo Collatz son solo de dos tipos de ciclo: [matemáticas] n = x [/ matemáticas] y [matemáticas] n> x [/ matemáticas] si [matemáticas] x> 1 [/ math] sería de alguna importancia. Avíseme si está interesado en ayudarme a resolver la lógica y escribir una prueba rigurosa en este sentido.
Notas al pie
[1] Parte 2: ¿Cómo funciona un ciclo de secuencia? por Michael M. Ross en Mathrodite
[2] Parte 1: Collatz y congruencia de Michael M. Ross sobre Mathrodite
[3] Parte 3: La insignificancia de la uniformidad por Michael M. Ross en Mathrodite