¿Cómo demostramos que cada número entero tiene la forma [matemática] 3k, 3k + 1, [/ matemática] o [matemática] 3k + 2 [/ matemática]?

Answer 1

Cuando divide cualquier número entero entre 3, el resto debe ser menor que 3. Esto es realmente el resultado de lo que entendemos por división entera.

Por ejemplo, ¿cuántos cartones (cada uno con 12 huevos) se pueden hacer con 50 huevos?

Dividimos 12 en 50 para obtener un cociente de 4 con un resto de 2. Para poder hacer 4 cartones de huevos con 2 sobrantes para el desayuno. No tendría sentido tener un resto de 12 o más porque entonces solo haríamos más cajas de cartón hasta que nos quedaran menos de 12.

Esto se puede expresar mediante la ecuación: 50 = 4 * 12 + 2, donde 4 es el cociente y 2 es el resto.

Entonces, dado que dividir un número entero n entre 3 debe dejar un resto menor que 3, el resto debe ser 0 o 1 o 2.

Si el resto es 0, esto se puede escribir como la ecuación:

n = 3k donde k es el cociente y 0 es el resto. (Puede escribir esto como n = 3k + 0 para ver el resto explícitamente).

Si el resto es 1, esto se puede escribir como la ecuación:

n = 3k + 1 donde k es el cociente y 1 es el resto.

Y si el resto es 2, esto se puede escribir como la ecuación:

n = 3k + 2 donde k es el cociente y 2 es el resto.

Esto se encarga de cada caso, por lo tanto, cada entero tiene la forma 3k, o 3k + 1, o 3k + 2.

Answer 2

TL; DR: para probar que la partición realmente contiene todos los enteros, necesita la propiedad de “buen orden”.

♒

Este es un caso especial del “algoritmo de división”: para enteros [matemática] a, m [/ matemática] con [matemática] m> 0 [/ matemática], existe una [matemática] q, r [/ matemática] única tal que [matemática] a = mq + r [/ matemática] y [matemática] 0 \ le r

Para positivo [matemática] a [/ matemática] podemos mostrar esto de la siguiente manera: para [matemática] a 0} [/ math], que no están vacías pero no contienen ningún elemento mínimo).

Ya sabemos que [matemática] \ tilde a

Cuando [math] a <0 [/ math], escribimos [math] -a = mq + r [/ math]; entonces si [matemática] r = 0 [/ matemática], [matemática] a = m (-q) +0 [/ matemática], y en otros casos [matemática] a = m (-1-q) + (mr) [/matemáticas]. En cualquier caso, se cumple la condición de [math] r [/ math].

Answer 3

Acaba de volver a plantear la pregunta, como sospechaba.

Una forma de probar el resultado es mediante inducción. Lo probaré por cada número entero no negativo; debe modificar la prueba para mostrar que el resultado también se aplica a enteros negativos.

Base: 0 es de la forma 3 (0).

Paso de inducción: hay tres casos. Primero, supongamos que n tiene la forma 3k. Entonces n + 1 tiene la forma 3k + 1. Alternativamente, si n tiene la forma 3k + 1, entonces n + 1 tiene la forma 3k + 2. Finalmente, si n tiene la forma 3k + 2, entonces n + 1 = 3k + 3 = 3 (k + 1) tiene la forma 3k.

Por inducción, todos los enteros no negativos son de la forma 3k, 3k + 1 o 3k + 2.

Answer 4

Podemos usar la inducción para demostrar que es cierto para los enteros no negativos, y hacer lo mismo para los enteros negativos.

Tenga en cuenta que [matemáticas] 0 = 3 (0) [/ matemáticas]. Este será nuestro caso base.

Ahora, si los primeros [matemáticos] k [/ matemáticos] enteros no negativos [matemáticos] 0,1,2… k-1 [/ matemáticos] tienen la forma [matemática] 3m, 3m + 1 [/ matemática], o [matemáticas] 3m + 2 [/ matemáticas], entonces cualquiera

• [matemática] k-1 = 3m [/ matemática] para algunos [matemática] m [/ matemática],
• o [matemáticas] k-1 = 3m + 1 [/ matemáticas] para algunas [matemáticas] m [/ matemáticas],
• o [math] k-1 = 3m + 2 [/ math] para algunos [math] m [/ math].

Si lo primero es cierto, entonces [matemática] k = 3m + 1 [/ matemática], entonces [matemática] k [/ matemática] toma una de las formas [matemática] 3m, 3m + 1,3m + 2 [/ matemática]

Si el segundo es verdadero, de manera similar, [matemática] k = 3m + 2 [/ matemática], y nuevamente [matemática] k [/ matemática] toma una de las formas 3 [matemática] m, 3m + 1,3m + 2 [/ matemáticas].

Si el tercero es verdadero, entonces [matemática] k-1 = 3m + 2 [/ matemática] entonces [matemática] k = 3m + 3 = 3 (m + 1) [/ matemática], y así una vez más [matemática] k [ / math] puede escribirse en una de las formas deseadas.

Entonces, para todas las posibilidades, si cada uno de los números [matemática] 0,1,2…, k-1 [/ matemática] puede escribirse en la forma [matemática] 3m, 3m + 1 [/ matemática] o [matemática] 3m + 2 [/ math], entonces también puede hacerlo el número [math] k [/ math]. Por lo tanto, por inducción, tomando 0 como el caso base, todos los enteros no negativos se pueden escribir en una de esas tres formas.

Dejaré la inducción negativa al lector.

Answer 5

Inducción matemática:

La afirmación es verdadera para 0.

Supongamos que también es cierto para algunos enteros n

Entonces, para el entero n + 1:

Para n en forma 3k, n + 1 está en forma 3k + 1

Para n en forma 3k + 1, n + 1 está en forma 3k + 2

Para n en forma 3k + 2, n + 1 está en forma 3k + 3, es decir, forma 3k

Por lo tanto, la declaración es verdadera para todos los enteros

Answer 6

Uso modular.

3k mod 3 = [0], 3k + 1 mod 3 = [1], 3k + 2 mod 3 = [2]. Esto cubre las 3 clases de residuos para el mod 3, por lo tanto, todos los enteros deben caer dentro de uno de ellos.

Por lo tanto, cada entero puede expresarse mediante una y solo una de estas expresiones.