¡Ten paciencia conmigo por un tiempo!
Primero, multiplica,
- [matemáticas] x ^ 2-x (k + 2007) + (2007k + 1) [/ matemáticas]
- [matemáticas] x ^ 2 + x (a + b) + ab [/ matemáticas]
Suponiendo [matemáticas] a \ ge b [/ matemáticas]
Podemos decir,
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- ¿Has descubierto algo interesante sobre la Conjetura de Collatz?
- ¿Cómo probaría que [matemáticas] x ^ {2n} + y ^ {2m} = z ^ k [/ matemáticas], no tiene solución en enteros positivos distintos?
- ¿Cómo se puede saber el número de enteros [matemática] n [/ matemática] para los cuales [matemática] 3x ^ 3-25x + n = 0 [/ matemática] tiene 3 raíces reales?
- [matemáticas] a + b = – (k + 2007) [/ matemáticas]
- [matemáticas] ab = 2007k + 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] (ab) ^ 2 = (a + b) ^ 2-4ab [/ matemáticas]
[matemáticas] = (k + 2007) ^ 2-4 \ cdot (2007k + 1) [/ matemáticas]
[matemáticas] = k ^ 2 + 2 \ cdot2007k + 2007 ^ 2-4 \ cdot2007k-4 [/ matemáticas]
[matemáticas] = k ^ 2-2 \ cdot2007k + 2007 ^ 2-4 [/ matemáticas]
[matemáticas] = (k-2007) ^ 2-2 ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] 2 ^ 2 + (ab) ^ 2 = (k-2007) ^ 2 [/ matemáticas]
¿Se parece a un triple pitagórico?
Pero sabemos que solo el triple pitagórico que contiene [matemáticas] 2 [/ matemáticas] es [matemáticas] (2,0,2) [/ matemáticas] (para enteros, podemos decir [matemáticas] 2,0, -2 [/ matemáticas] también)
Por lo tanto, [matemáticas] ab = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] (k-2007) = \ pm2 [/ matemáticas]
Esto implica, [matemáticas] a = b [/ matemáticas] y [matemáticas] \ boxed {k = 2005,2009} [/ matemáticas]
Como [matemáticas] a = b [/ matemáticas], podemos decir [matemáticas] a = \ dfrac {- (k + 2007)} {2} [/ matemáticas]
Como [math] a [/ math] es un entero, [math] k [/ math] debe ser un entero impar para que [math] (k + 2007) [/ math] sea divisible por [math] 2 [/ math ] que está satisfecho con nuestra respuesta,
[matemáticas] \ en caja {k = 2005,2009} [/ matemáticas]
[matemáticas] k_ {max} = 2009 [/ matemáticas]
Solo por verificar,
[matemáticas] (x-2009) (x-2007) +1 [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ 2-4016 + 2009 \ cdot2007 + 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ 2-2 \ cdot2008 + (2008 + 1) (2008-1) +1 [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ 2-2 \ cdot2008 + 2008 ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] (x-2008) ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] (x-2008) (x-2008) [/ matemáticas]
[matemáticas] (x-2005) (x-2007) +1 [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ 2-4012 + 2005 \ cdot2007 + 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ 2-2 \ cdot2006 + (2006-1) (2006 + 1) +1 [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ 2-2 \ cdot2006 + 2006 ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] (x-2006) ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] (x-2006) (x-2006) [/ matemáticas]
BUENA SUERTE !!!!
Y gracias por el A2A!