¿Puedes encontrar una solución entera para esta ecuación de Diophantine [matemática] x ^ 3 + y ^ 3 = 2z ^ 2 [/ matemática], donde (x, y, z) son enteros primos distintos positivos, y (z) es incluso entero?

Answer 1

Pude encontrar un libro de texto con esta ecuación diofantina.

Teoría de números Volumen II: Herramientas analíticas y modernas por Henri Cohen, p. 470.

Da una clasificación de todas las soluciones en los enteros de esta ecuación. Entre las soluciones están x = 13, y = 11, z = 42 , que se adapta a todas sus condiciones. Hay 4 casos posibles, de los cuales he tomado una captura de pantalla. En los primeros dos casos, 3 no divide z.

En los siguientes dos casos, 3 divide z.

Cada solución a la ecuación cumple exactamente una de estas parametrizaciones, aunque no todas las soluciones cumplen todas sus condiciones. Obtuve la solución anterior eligiendo s = 1, t = 1 en el caso 2.1. Puede demostrar que ninguna solución dará como resultado coprime x, y, z incluso con z en los casos 1.1 y 1.2, y por lo tanto, cualquier solución que cumpla con sus condiciones también tendrá 3 divisiones z. No sé si hay infinitas soluciones que cumplan con sus condiciones.