¿Qué significa que la construcción de números reales es no algebraica? Educación te da un futuro mejor

Significa que los números reales se construyen utilizando herramientas de topología y no de álgebra.

Para darle un poco de contexto, comenzaré con algunas construcciones algebraicas estándar.

Asumiré la existencia de los enteros: puede definirlos utilizando los axiomas de Peano o como un conjunto en la teoría de conjuntos ZFC. No importa cómo lo hagas exactamente; el punto es que tienes un objeto algebraico básico para comenzar. Puede hablar sobre la suma y la multiplicación, y son asociativas, conmutativas y distributivas. También tiene la identidad aditiva [matemática] 0 [/ matemática] y la identidad multiplicativa [matemática] 1 [/ matemática]. Cualquier número entero [math] m [/ math] tiene un inverso aditivo [math] -m [/ math] tal que [math] m + (-m) = 0 [/ math]. Un objeto que satisface tales propiedades se llama anillo conmutativo .

Los enteros tienen otra propiedad que será muy relevante: si [math] mn = 0 [/ math], entonces [math] m = 0 [/ math] o [math] n = 0 [/ math]. Un anillo conmutativo que satisface esta propiedad se llama dominio integral . Hay muchos, muchos ejemplos de anillos conmutativos que no son dominios integrales, pero tal vez eso sea una discusión para otro momento.

¿Cómo podemos construir desde allí? Bueno, podemos intentar definir los números racionales. ¿Cómo podríamos hacer eso?

Los definiremos como pares de enteros [matemática] (m, n) [/ matemática] donde [matemática] n \ neq 0 [/ matemática], pero con la regla adicional de que [matemática] (m, n) = ( am, an) [/ math] para cualquier número entero [math] a [/ math]. Puede definir la multiplicación de tales pares: [math] (m, n) \ cdot (a, b) = (ma, nb) [/ math]. También puede definir la suma de estos pares: [matemática] (m, n) + (a, b) = (mb, nb) + (na, nb) = (mb + na, nb) [/ math]. Si escribe todo esto en la notación más familiar [math] (m, n) \ rightarrow \ frac {m} {n} [/ math], verá que estos son exactamente los números racionales.

Esta es una construcción general en álgebra abstracta: se llama campo de fracciones . Siempre que tenga un dominio integral, puede construir su campo de fracciones exactamente de la manera que he descrito anteriormente. El campo de fracciones tiene algunas propiedades muy bonitas (que puede verificar directamente):

La suma y la multiplicación son asociativas y conmutativas.
Hay una identidad aditiva (dada por [math] (0,1) [/ math]).
Cada elemento [math] (m, n) [/ math] tiene un inverso aditivo (dado por [math] (-m, n) [/ math])
Hay una identidad multiplicativa (dada por [math] (1,1) [/ math]).
Cada elemento distinto de cero [math] (m, n) [/ math] tiene un inverso multiplicativo (dado por [math] (n, m) [/ math]).
La multiplicación distribuye sobre la suma.

Una estructura algebraica que satisface estas 6 propiedades se llama, apropiadamente, un campo . Los racionales son un campo, los números reales son un campo y los números complejos son un campo. Hay muchos más ejemplos además de estos.

Además, un dominio integral siempre se encuentra dentro de su campo de fracciones de forma natural. Específicamente, podemos identificar [math] m \ leftrightarrow (m, 1) [/ math]. Esto es coherente con la forma en que generalmente pensamos en los números racionales: esto simplemente dice [matemáticas] m = \ frac {m} {1} [/ matemáticas].

Entonces, en esencia, ¿qué hace realmente el campo de fracciones? Toma un dominio integral, y luego para cada [matemática] x [/ matemática] en el dominio integral, arroja un elemento [matemática] x ^ {- 1} [/ matemática], si aún no estaba allí . Es decir, el campo de fracciones es solo el campo más pequeño que contiene el dominio integral en cuestión . En particular, el campo de fracciones de un campo es simplemente ese mismo campo nuevamente.

Como consecuencia, aplicar el campo de construcción de fracciones a los enteros produjo algo nuevo e interesante, los racionales, aplicarlo nuevamente no va a generar nada más. Entonces, vamos a necesitar algunas herramientas nuevas para proceder.

Otra construcción que existe (pero cuyos detalles no esbozaré aquí) es incluir lo que se llaman números algebraicos . Un número algebraico es cualquier raíz de un polinomio [matemático] P (X) [/ matemático] con coeficientes racionales. Aquí hay unos ejemplos:

[matemáticas] i [/ matemáticas] es una raíz de [matemáticas] X ^ 2 + 1 [/ matemáticas].
[math] \ sqrt {2} [/ math] es una raíz de [math] X ^ 2 – 2 [/ math].
[matemáticas] e ^ {2 \ pi i / 5} [/ matemáticas] es una raíz de [matemáticas] X ^ 4 + X ^ 3 + X ^ 2 + X + 1 [/ matemáticas].

Lo que puede hacer es tomar un número algebraico y ‘adjuntarlo’ a los racionales. Esto creará un nuevo campo más grande (llamado campo de número algebraico ). De nuevo, algunos ejemplos:

El conjunto de elementos [matemática] a + bi [/ matemática] donde [matemática] a, b [/ matemática] son racionales.
El conjunto de elementos [math] a + b \ sqrt {2} [/ math] donde [math] a, b [/ math] son racionales.
El conjunto de elementos [matemática] a_1 + a_2 e ^ {2 \ pi i / 5} + a_3 e ^ {4 \ pi i / 5} + a_4 e ^ {\ pi i / 5} + a_5 e ^ {3 \ pi i / 5} [/ math] donde [math] a_i [/ math] son todos racionales.

Incluso puede hacer algo realmente drástico y tomar la unión de cada campo de número algebraico (esto equivale a agregar cada número algebraico); esto le da el campo de números algebraicos sobre los racionales.

Este campo es bastante grande (su dimensión como espacio vectorial sobre los racionales es infinito), pero todavía está eclipsado por los números reales. Los números reales contienen muchos, muchos más elementos que el campo de los números algebraicos.

De hecho, realmente no importa qué tipo de herramientas algebraicas uses, ninguna de ellas te acercará a los números reales. Para construirlos, necesita algunas ideas completamente nuevas, provenientes de la topología.

Un aspecto de los enteros de los que no hemos hablado hasta ahora es que tienen un orden natural en ellos, dado por [math] <[/ math]. Lo que puede verificar es que puede elevar este orden de los enteros a los números racionales (usted define [math] (m, n) <(m ', n') [/ math] if [math] mn '<m' n [/ matemáticas]). También puede extender este orden a los campos de números algebraicos, pero no los necesitaremos para lo que viene a continuación.

Consideremos todas las secuencias de números racionales. Podríamos considerar, por ejemplo, la secuencia [matemáticas] 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, \ ldots [/ matemáticas]. Esta secuencia tiene una propiedad especial: los elementos de la secuencia se están acercando cada vez más. Tal secuencia se llama Cauchy .

Seamos un poco más formales sobre esto. Tome una secuencia [matemática] a_1, a_2, a_3, \ ldots [/ math]. Suponga que para cualquier número entero [matemático] N> 0 [/ matemático], podemos encontrar un entero suficientemente grande [matemático] K [/ matemático] tal que si [matemático] n_1, n_2> K [/ matemático], entonces [matemático ] | a_ {n_1} – a_ {n_2} | <\ frac {1} {N} [/ matemáticas]. Llamaremos a tal secuencia Cauchy.

La idea es la siguiente: dado que los términos de las secuencias de Cauchy se acercan cada vez más, deberían acercarse cada vez más a algo . Por ejemplo, en la secuencia [matemáticas] 1, \ frac {1} {2}, \ frac {1} {4}, \ frac {1} {8}, \ frac {1} {16}, \ ldots [ / matemáticas], es evidente que los términos se están acercando cada vez más a cero.

Nuevamente, seamos un poco más formales sobre esto. Tome una secuencia [math] a_1, a_2, a_3, \ ldots [/ math] y un elemento [math] a [/ math]. Supongamos que para cualquier número entero [matemático] N> 0 [/ matemático], podemos encontrar un entero suficientemente grande [matemático] K [/ matemático] tal que si [matemático] n> K [/ matemático], entonces [matemático] | a_n – a | <\ frac {1} {N} [/ matemáticas]. Luego decimos que la secuencia converge a [math] a [/ math].

Se puede demostrar que cualquier secuencia convergente es necesariamente Cauchy. Lo contrario, sin embargo, no es cierto. Defina [math] F (n) [/ math] para que sea el [math] n [/ math] -th número de Fibonacci (también llamado a veces números de Pingala, después de la primera persona que escribió sobre ellos), y considere la secuencia ] \ frac {F (2)} {F (1)}, \ frac {F (3)} {F (2)}, \ frac {F (4)} {F (3)}, \ ldots [/ matemáticas]

Puede verificar que esta secuencia no converja a ningún número racional; de hecho, converge a [matemáticas] \ frac {1 + \ sqrt {5}} {2} [/ matemáticas], mejor conocida como la proporción áurea.

Quizás se pregunte que, tal vez, cualquier secuencia Cauchy de números racionales podría converger en algún número algebraico. Sin embargo, ese no es el caso. Considere la secuencia [matemáticas] 1, 1 + \ frac {1} {4}, 1 + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {9}, 1 + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {9} + \ frac {1} {16}, \ ldots [/ math]. Puede verificar que es Cauchy; lo que es mucho más difícil de mostrar es que no converge a ningún número algebraico. De hecho, converge a [math] \ frac {\ pi ^ 2} {6} [/ math].

Entonces podría preguntarse si hay una secuencia de Cauchy de números racionales que no convergen a ningún número real. La respuesta es no, pero por razones muy tontas: definimos los números reales como lo que obtienes tomando los números racionales y luego agregando elementos hasta que cada secuencia de Cauchy converja en algo.

Hay varias formas de hacer esta construcción: puede hacer uso de los cortes de Dedekind, o puede tomar todas las secuencias de Cauchy y definir alguna relación de equivalencia en ellas. El camino exacto es irrelevante; sea cual sea el curso que tome, deberá hacer uso de la ordenación de los números racionales y del hecho de que puede hablar de que los números racionales están “muy juntos”.

Esto es fundamentalmente una noción no algebraica, por lo que, sea cual sea la construcción que elija, será no algebraica.