Cómo demostrar que hay infinitos enteros [matemática] x, y [/ matemática] tal que [matemática] x + y = 100 [/ matemática] y [matemática] \ gcd (x, y) = 5 [/ matemática]

Answer 1

En términos más generales, dado [math] s \ in \ mathbb Z [/ math] y [math] g \ in \ mathbb N [/ math], existe [math] m, n \ in \ mathbb Z [/ math] tales ese

[matemática] m + n = s [/ matemática] y [matemática] \ gcd (m, n) = g [/ matemática] si y solo si [matemática] g \ mid s [/ matemática].

Además, hay infinitos pares [matemática] m [/ matemática], [matemática] n [/ matemática] si hay uno de esos pares .

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Suponga que [matemática] m [/ matemática], [matemática] n [/ matemática] satisface [matemática] m + n = s [/ matemática] y [matemática] \ gcd (m, n) = g [/ matemática]. Entonces [math] g \ mid m [/ math] y [math] g \ mid n [/ math], de modo que [math] g \ mid (m + n) = s [/ math]. Por lo tanto, la condición de divisibilidad es necesaria .

Ahora suponga [math] g \ mid s [/ math]. Escriba [matemáticas] \ frac {s} {g} = k [/ matemáticas]. Elija [math] a \ in \ mathbb Z [/ math] tal que [math] \ gcd (a, ka) = 1 [/ math]; por ejemplo [matemáticas] a = 1 [/ matemáticas]. Entonces [matemáticas] m = ga [/ matemáticas], [matemáticas] n = g (ka) [/ matemáticas] satisfacer [matemáticas] m + n = s [/ matemáticas] y [matemáticas] \ gcd (m, n) = g [/ matemáticas]. Por lo tanto, la condición de divisibilidad también es suficiente .

El hecho de que hay infinitos enteros [matemática] a [/ matemática] tal que [matemática] \ gcd (a, ka) = 1 [/ matemática] [matemática] ([/ matemática] para cualquier [matemática] k \ fija en \ mathbb Z) [/ math] demuestra que hay infinitos pares [math] m [/ math], [math] n [/ math]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 2

[matemática] \ gcd (x, y) = 5 [/ matemática] implica que existen enteros [matemática] a, b [/ matemática] tal que [matemática] x = 5a, y = 5b [/ matemática] y [matemática] \ gcd (a, b) = 1 [/ matemáticas]. Ahora [matemática] x + y = 100 [/ matemática] da [matemática] a + b = 20 [/ matemática].

Para mostrar que hay infinitas [matemáticas] x, y, [/ matemáticas] mostramos que hay infinitas [matemáticas] a, b [/ matemáticas] que satisfacen las condiciones [matemáticas] \ mcd (a, b) = 1 [/ math] y [math] a + b = 20. [/ math] Tome [math] a = p, p [/ math] es un número primo mayor que [math] 20. [/ math] Entonces [math] b = 20-p [/ matemáticas]. Es fácil verificar que para estos valores de [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b, \ gcd (a, b) = 1. [/ matemática] Como el número primo [matemática] p [/ matemática] puede ser elegido de infinitas maneras, nuestra afirmación está probada.

Answer 3

Una forma de demostrar la afirmación es construir infinitos pares de tales.

Primero, algunas manipulaciones simples del MCD:

MCD (x, y) = MCD (x, -y) = MCD (x – (-y), -y) = MCD (100, -y) = MCD (100, y)

Entonces, si podemos encontrar infinitos enteros y tales que GCD (100, y) = 5, entonces estableciendo x = 100 – y, hemos terminado. Pero eso es fácil: para cualquier entero k, tenemos ese MCD (100, 100k + 5) = 5.

Así que aquí hay un conjunto de infinitos pares de enteros que satisfacen las dos condiciones: {95 – 100k, 100 k + 5 | k es un entero}.

Answer 4

Intenta mostrar que [math] \ gcd (a, b) = \ gcd (a, a + b) [/ math]. Entonces, desde su último paso tenemos [math] \ gcd (m, 25) = 1 [/ math]. Pero hay infinitamente tales [matemáticas] m [/ matemáticas]. ¿Puedes ver por qué?