¿Qué es [math] (2 ^ {(2 ^ {17})} + 1) (\ mathrm {mod} 19) [/ math]?

Answer 1

Recuerde ([matemáticas] a_ {mod n} * b_ {mod n}) mod n) = ab_ {mod n} [/ matemáticas]

[matemáticas] (2 ^ {34} + 1) mod 19 [/ matemáticas]

Otro teorema interesante: [matemáticas] a ^ {c + b} = (a ^ c) * a ^ b [/ matemáticas]

Entonces, reescribimos 34 como una suma de poderes de 2. [matemática] 34 = 2 ^ 8 + 2 ^ 1 [/ matemática]

[matemáticas] (2 ^ {34} + 1) mod 19 = (2 ^ {32 + 2} + 1) mod 19 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ begin {matrix} [/ math]

[matemáticas] (2 ^ {34} + 1) mod 19 & = & (2 ^ {32 + 2} + 1) mod 19 \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] & = & (2 ^ {32} 2 ^ 2 +1) mod 19 \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] & = & (2 ^ {16 + 16} 2 ^ 2 +1) mod 19 \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] & = & (2 ^ {16} 2 ^ {16} 2 ^ 2 +1) mod 19 \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] & = & (2 ^ {8 + 8} 2 ^ {8 + 8} 2 ^ 2 +1) mod 19 \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] & = & (2 ^ {8} 2 ^ {8} 2 ^ {8} 2 ^ {8} 2 ^ 2 +1) mod 19 \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] \ end {matriz} [/ matemáticas]

Ahora, usamos las dos propiedades recursivamente para resolver [math] 2 ^ {34} _ {mod19} [/ math]

[matemáticas] 2 ^ 8 = 256. [/ matemáticas]

256 = 9 mod 19.

Answer 2

En primer lugar, encontremos x = 2 ^ (2 ^ 17) mod 19.
Como mcd (2 ^ 17,19) = 1, podemos usar el teorema de Euler aquí.
Por la función totient de Euler,
Phi (19) = 18 .
Por el teorema de Euler,
x = 2 ^ (2 ^ 17 mod 18) mod 19.
Ahora, nuevamente como 17 y 18 son coprimos, podemos usar el teorema de Euler.
Phi (18) = 6 .
Como 17 mod 6 = 5,
2 ^ 17 mod 18 = 2 ^ 5 mod 18 = 14 .
Entonces, x = 2 ^ 14 mod 19 = 128 ^ 2 mod 19.
Como 128 mod 19 = 14, x = 14 ^ 2 mod 19
Entonces, x = 6 .

Entonces, [2 ^ (2 ^ 17) + 1] mod 19 = 7 .

Answer 3

2 ^ 1 = 2 (mod 19); 2 ^ 2 = 4 (mod 19); 2 ^ 4 = -3 (mod 19);
2 ^ 8 = 9 (mod 19); 2 ^ 16 = 5 (mod 19); 2 ^ 32 = 6 (mod 19);
2 ^ 64 = -2 (mod 19); 2 ^ 128 = 4 (mod 19); 2 ^ 256 = -3 (mod 19).
Ajústalo 6 veces más y tendrás 2 ^ (2 ^ 14) = -3 (mod 19).
Entonces 2 ^ (2 ^ 15) = 9 (mod 19), 2 ^ (2 ^ 16) = 5 (mod 19), 2 ^ (2 ^ 17) = 6 (mod 19).
Finalmente, agregue 1 para obtener 7 (mod 19).

Answer 4

Tome take 2 ^ 17 mod 19, el resultado es 10.

Haz lo mismo con 2 ^ 10 +1.

Así es como ruedas en módulo aritmético. Siga tomando porciones mod 19 para reducirlas hasta que esté trabajando con números manejables.