Esta es una gran pregunta. Permítame proporcionarle 2 resultados centrales que pueden ser útiles para probar cosas sobre los grupos cíclicos en general. Lo que es más importante que el resultado en sí mismo son los métodos aplicados para lograr los resultados , ya que demuestran ser de gran utilidad para comprender la estructura de los Grupos Cíclicos , sus propiedades especiales con respecto a la singularidad de los poderes y su generador .
Grupo cíclico: un grupo [matemática] G = [/ Matemática], [matemática] \ ni [/ matemática], es generada por un elemento [matemática] \ en [/ matemática] S
Isomorfismo: Una biyección [matemática] f: G_ {1} \ a G_ {2}, \ ni, f (ab) = f (a) f (b), \ forall a, b \ en S_ {1} [/ matemáticas]
Teorema 1: dados 2 grupos cíclicos [matemáticas] G_ {1} = [/ math] y [math] G_ {2} = , \ ni, ord (G_ {1}) = ord (G_ {2}), G_ {1} \ cong G_ {2} [/ math]
Prueba: un grupo cíclico tiene un generador. Definamos [math] gen (G_ {1}) = a [/ math], donde [math] a \ en S_ {1} [/ math]. Definamos [math] gen (G_ {2}) = b [/ math], donde [math] b \ en S_ {2} [/ math].
Ahora, esto implica que, [matemáticas] \ forall a ^ {‘} \ en S_ {1}, \ existe m \ in [1, ord (G_ {1}) – 1], \ ni a ^ {m} = a ^ {‘} [/ math] (Trivialmente, [math] m = 1 [/ math], if [math] a = a ^ {‘} [/ math])
Entonces, para probar esto, debemos demostrar que [matemática] \ existe f: G_ {1} \ a G_ {2}, \ ni, ([/ matemática] f is bijective [matemática]) [/ matemática] [matemática ] \ wedge [/ math] [math] (f (ab) = f (a) f (b)), \ forall a, b \ in S_ {1} [/ math]
– Lo demostraremos construyendo una función que obedezca a la preservación de la adyacencia. La inyectividad será una consecuencia del intervalo de [matemáticas] m [/ matemáticas], y la surjectividad es una consecuencia del hecho de que [matemáticas] ord (G_ {1}) = ord (G_ {2}) [/ matemáticas]
– Definimos [matemáticas] f, \ ni, f (gen (G_ {1})) = gen (G_ {2}) [/ matemáticas] [matemáticas] (f (a) = b) [/ matemáticas]
Ahora, observe que: [matemáticas] f (a_ {1}… a_ {n}) = f (a_ {1} a_ {2} .. a_ {n}) = f (a_ {1} b) = f ( a_ {1}) f (b) [/ math], para [math] b = a_ {2} .. a_ {n} [/ math]
Por recursión, entonces, [matemáticas] f (a_ {1} .. a_ {n}) = f (a_ {1}) … f (a_ {n}) [/ matemáticas]
Entonces, [matemáticas] f ((gen (G_ {1})) ^ {2}) = f (a ^ {2}) = f (gen (G_ {1})) f (gen (G_ {1}) ) = gen (G_ {2}) gen (G_ {2}) = (gen (G_ {2})) ^ {2} = b ^ {2} [/ math]
Nuevamente, por recursión, [math] \ forall m \ in ([1, ord (G_ {1}) – 1] = [1, ord (G_ {2}) – 1]) [/ math], vemos que , [matemáticas] f (a ^ {m}) = b ^ {m} [/ matemáticas].
Ahora, a medida que se conserva el mapeo del elemento de identidad, y la función es biyectiva (fácil de verificar. Inyectiva -> Diferentes poderes de m producen elementos diferentes. Surjective como cada elemento de [math] S_ {2} [/ math] tiene una preimagen en [matemáticas] S_ {1} [/ matemáticas]), tenemos que f es un isomorfismo de [matemáticas] G_ {1} \ a G_ {2} [/ matemáticas].
Lo último que se debe comprobar es que se conserva la asignación del elemento de identidad. Deje que el elemento de identidad de [math] G_ {1} [/ math] sea [math] e_ {1} [/ math].
Ahora, [matemáticas] f (a ^ {‘} e_ {1}) = f (a ^ {‘}) f (e_ {1}) = f (a ^ {m}) f (e_ {1}) = f (a) .. f (a) f (e_ {1}) = (f (a)) ^ {m} f (e_ {1}) = b ^ {m} f (e_ {1}) [/ matemáticas].
Por definición de nuestro isomorfismo, [matemáticas] f (a ^ {m}) = b ^ {m} [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que esto solo es cierto si [math] b ^ {m} f (e_ {1}) = b ^ {m} [/ math], lo que implica que [math] f (e_ {1}) [/ math] es el elemento de identidad de [matemáticas] G_ {2} [/ matemáticas]. Por lo tanto, se conserva el mapeo del elemento de identidad.
Como se cumplen todas las condiciones necesarias para un isomorfismo, tenemos prueba del teorema 1
QED
Teorema 2: (Corolario de 1) Si 2 grupos son isomorfos, de modo que uno de ellos es cíclico, entonces el segundo grupo es cíclico con [matemáticas] f (gen (G_ {1})) = gen (G_ {2}) [/matemáticas]
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Estos dos teoremas proporcionan una visión tremenda de la estructura uniforme de todos los grupos cíclicos finitos. También nos dicen que, en los grupos cíclicos, además de la preservación del mapeo del elemento de identidad, la preservación del mapeo del elemento generador y la singularidad de la cardinalidad.
Entonces, en general, para mostrar que un grupo no es cíclico, puede mostrar 2 cosas:
i) Para algunas [matemáticas] G = [/ matemáticas], ningún elemento puede generar todos los demás elementos. Y puede mostrar esto configurando ecuaciones donde los poderes están limitados para grupos finitos, y resolviendo una ecuación general donde el grupo es de cardinalidad infinita.
ii) Una propuesta más difícil pero más difícil puede ser mostrar que, si el grupo de donación es finito, no hay mapeo de un grupo cíclico conocido del mismo orden que lleve el elemento generador a algún elemento en su grupo de interés que genere tu grupo.
Estas son solo algunas cosas para comenzar.
Para su grupo particular, se utiliza un poco de teoría de números (Búsqueda: Teorema del resto chino ), además de un poco en grupos infinitos y las definiciones de grupos cíclicos .
¡Espero que esto ayude!