Tenemos un número finito de primos, por lo tanto, un producto finito, con cada factor la suma de una infinidad de términos.
[matemáticas] N = \ prod_ {i = 1} ^ n (1 + \ frac {1} {p_i} + \ frac {1} {p_i ^ 2} +…) [/ matemáticas]
Imagina multiplicar el producto. Tiene factores [matemáticos] n [/ matemáticos], uno para cada primo [matemático] p_i [/ matemático]. Cada factor es la suma de un número infinito de poderes de [math] \ frac {1} {p_i} [/ math]. Cuando termines de multiplicar, tendrás que sumar los recíprocos de cada producto posible de los poderes de los números primos.
Cada término que resulta de elaborar el producto tiene un factor que es un término en la suma de cada primo. Por ejemplo, si multiplicamos todos los primeros términos, eso es [matemática] 1 \ cdot 1 \ cdot… \ cdot 1 = 1 [/ math]. Si elegimos un segundo término [matemática] \ frac {1} {p_i} [/ matemática] y la multiplicamos por todos los otros primeros términos, todos los 1s, obtenemos [matemática] \ frac {1} {p_i} [/ matemática ] Obtendremos un término así para cada primo. Si elegimos dos segundos términos, obtenemos todos los términos del formulario [math] \ frac {1} {p_ip_j} [/ math]. Un segundo término y un tercer término nos dan [math] \ frac {1} {p_i p_j ^ 2} [/ math].
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Cuando hacemos todas las combinaciones, obtendremos todos los términos de la forma [matemáticas] \ frac {1} {p_1 ^ {e_1} p_2 ^ {e_2} p_3 ^ {e_3} … p_n ^ {e_n}}. [ / math] Los exponentes [math] e_i [/ math] van de 0 a arbitrariamente grandes: estamos obteniendo todas las combinaciones de potencias de nuestros primos [math] n [/ math].
Así que terminamos sumando los recíprocos de cada combinación de productos de poderes de primos. Aquí está la parte difícil. Según el teorema fundamental de la aritmética, cada número puede expresarse como el producto de números primos, y esa factorización es única. En nuestra suma tenemos todas las combinaciones, por lo que [math] N [/ math] debe ser la suma de los recíprocos de cada número.
[matemáticas] N = \ frac 1 1 + \ frac 1 2 + \ frac 1 3 + \ frac 1 4 +… [/ matemáticas]
Esta serie diverge. Esto contradice el producto obviamente finito una vez que se suman las series geométricas, dando un buen valor finito para [matemáticas] N [/ matemáticas]. Por lo tanto, la suposición de un número finito de primos debe ser falsa. Un tipo inteligente, ese Euler.