Cómo demostrar lo siguiente: Para todos los enteros a, existe un entero b de modo que 3 | a + by 3 | 2a + b

Answer 1

Tratemos con enteros no negativos, porque es más fácil de entender y los resultados son los mismos si trata con todos los enteros.

La primera parte es fácil. Se le da un número entero [matemática] a [/ matemática] y desea encontrar una [matemática] b [/ matemática] tal que [matemática] 3 | (a + b) [/ matemáticas].

Digamos que [matemáticas] a = 10 [/ matemáticas]. Obviamente, puede elegir un número entero [math] b [/ math] para que [math] 3 | (a + b) [/ matemáticas]. Por ejemplo, [math] b = 2 [/ math] funcionaría, así como [math] b = 11 [/ math]. Formalmente, si [matemáticas] 3 | (a + b) [/ math] entonces existe un n tal que [math] 3n = (a + b) [/ math]. Dado un valor para [math] a [/ math], podemos resolver [math] b = 3n-a [/ math]. Pruebe los valores de n hasta que obtenga la ecuación.

Puedes hacer esencialmente lo mismo con tu segunda ecuación, ¿hay algo así que [matemáticas] 3 | (2a + b) [/ matemáticas]?

Nuevamente se le da [matemáticas] a [/ matemáticas], así que simplemente configure la ecuación [matemáticas] b = 3n-2a [/ matemáticas]. Pruebe valores para n hasta que obtenga una solución.

Answer 2

Si [math] 3 [/ math] divide ambos, entonces [math] 3 [/ math] divide su diferencia. Es decir, [matemática] 3 [/ matemática] divide [matemática] a [/ matemática] que no es para todos los enteros [matemática] a [/ matemática].

Answer 3

Trataré de mostrarle la esencia de una prueba del primer hecho, sin probarlo, principalmente porque detesto hacer pruebas.

Debe apelar a la definición de [matemáticas] x | y [/ matemáticas]. Esto significa que hay un número [matemática] k [/ matemática] tal que [matemática] kx = y [/ matemática].

Bien, volviendo a la pregunta en cuestión, si asumimos que podemos encontrar un número que muestre que [math] 3 | a + b [/ math] entonces, ¿cuál sería?

Ponga los hechos que tenemos en la ecuación [matemáticas] kx = y [/ matemáticas]: [matemáticas] k \ cdot 3 = a + b [/ matemáticas]. Resuelva para [matemáticas] k [/ matemáticas]:

[matemáticas] k = \ frac {a + b} {3} [/ matemáticas]

Para cualquier [matemática] a [/ matemática] [matemática] b [/ matemática] se puede elegir de modo que [matemática] a + b [/ matemática] sea divisible por [matemática] 3 [/ matemática]. Por lo tanto, la prueba.

Answer 4

Depende de lo que quieras decir: si 3 | a + by 3 | 2a + b son declaraciones separadas, entonces las otras respuestas funcionan. Si quieres encontrar ab tal que 3 | a + by 3 | 2a + b al mismo tiempo, para el mismo ayb, entonces la afirmación no es verdadera: simplemente tome a = 1 y pruebe que no es posible para 3 | b + 1 y 3 | b + 2 al mismo tiempo.