Considere esta ecuación de diofantina
[matemáticas] (x ^ {p – 1} + y ^ {p – 1} = z ^ {p – 1}) [/ matemáticas]
de acuerdo con el pequeño teorema de Fermat en números enteros, donde (y sin pérdida de generalidad) [matemática] (x, y, z) [/ matemática] son tres enteros coprim distintos positivos, de modo que [matemática] (x <y <z) [/ math] y [math] p [/ math] es cualquier número primo impar que no divide [math] xyz [/ math]
[matemáticas] x ^ {p – 1} + y ^ {p – 1} = z ^ {p – 1} [/ matemáticas], entonces la prueba es solo un paso por su pequeño teorema (¿Cómo?), la mano izquierda el lado de la ecuación es [matemática] 2 \ mod p [/ matemática], pero [matemática] 1 \ mod p [/ matemática] en el lado derecho, tan rigurosamente, Fermat demostró este caso en números enteros positivos enteros para todos los números primos impares números,
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Cualquier estudiante interesado puede ver cuántos enteros demostró Fermat en realidad y rigurosamente,
Hay otro caso como lo que sería si [math] p [/ math] divide [math] xyz [/ math], que puede dividirse en dos casos adicionales,
Primero, si, [matemática] p -1 = 4n [/ matemática], donde [matemática] n [/ matemática] es cualquier número entero positivo, lo cual fue probado rigurosamente por el propio Fermat por un método infinitamente decente,
Segundo, si, [matemática] p -1 = 2m [/ matemática], donde [matemática] m [/ matemática] es cualquier entero positivo impar mayor que uno, que también puede considerarse como dos casos,
a) considerando [math] xy [/ math] como entero impar, donde obviamente no existe una solución ya que [math] z ^ {2m} [/ math] sería igual a dos veces un entero impar, (imposible),
por lo tanto, [math] xy [/ math] debe ser un número entero par (solo uno de ellos) y, por lo tanto, [math] z [/ math] es obviamente un entero positivo impar.
b) El caso final quedó aquí con un triángulo pitagórico con todos los lados como números enteros poderosos, [matemática] (x ^ m, y ^ m, z ^ m) [/ matemática], que por supuesto es imposible, y eso también fue claro a Fermat,
Saludos
Bassam Karzeddin
09-05-2016