¿Cuál es la media aritmética del cuadrado de los primeros 2m números naturales?

Answer 1

AM [matemáticas] = \ dfrac {1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 3 ^ 2 + \ cdots + (2m) ^ 2} {2m} [/ matemáticas]

No sé si conoces la fórmula, pero aún así lo probaré

Necesitamos calcular [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {n} x ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {n} ((x + 1) ^ 3-x ^ 3) = (2 ^ 3-1 ^ 3) + (3 ^ 3-2 ^ 3) + \ cdots + (n ^ 3- (n-1) ^ 3) + ((n + 1) ^ 3-n ^ 3) [/ math]

• RHS

[matemáticas] (2 ^ 3-1 ^ 3) + (3 ^ 3-2 ^ 3) + \ cdots + (n ^ 3- (n-1) ^ 3) + ((n + 1) ^ 3-n ^ 3) [/ matemáticas]

[matemáticas] (n + 1) ^ 3-1 ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] n ^ 3 + 3n ^ 2 + 3n [/ matemáticas]

• LHS

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {n} ((x + 1) ^ 3-x ^ 3) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {n} (3x ^ 2 + 3x + 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {n} (x ^ 2) +3 \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {n} (x) + \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {n} (1) [/ matemáticas]

[matemáticas] 3S + 3 \ dfrac {n (n + 1)} {2} + n [/ matemáticas]

Por lo tanto,

[matemáticas] 3S + 3 \ dfrac {n (n + 1)} {2} + n = n ^ 3 + 3n ^ 2 + 3n [/ matemáticas]

[matemáticas] 6S + 3n ^ 2 + 3n + 2n = 2n ^ 3 + 6n ^ 2 + 6n [/ matemáticas]

[matemáticas] 6S = 2n ^ 3 + 3n ^ 2 + n = n (n + 1) (2n + 1) [/ matemáticas]

[matemática] \ en caja {S = \ dfrac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}} [/ matemática]

---

AM [matemática] = \ dfrac {2m (2m + 1) (4m + 1)} {6 * 2m} [/ matemática]

AM = [matemáticas] \ dfrac {(2m + 1) (4m + 1)} {6} [/ matemáticas]

Answer 2

Cuadrado de los primeros n números naturales dados por:
n (n + 1) (2n + 1) / 6
Aquí n = 2m,
Entonces, cuadrado de los primeros 2m números naturales =
2m (2m + 1) (4m +1) / 6
= m (2m +1) (4m + 1) / 3
El promedio de los primeros 2m cuadrados del número natural será
m (2m + 1) (4m + 1) / (3 * 2m)
= (2 m + 1) (4 m + 1) / 6

Answer 3

Como sabes,
La suma de los cuadrados de n números naturales se puede encontrar mediante fórmulas:
S = n * (n + 1) * (2n + 1) / 6

Entonces, el promedio de la suma de los cuadrados de los primeros n números naturales será:
Promedio = (Suma de cuadrados de n números naturales) / (n)

Pero, en la pregunta, se solicitan 2 millones de números naturales.
Entonces, reemplace ‘n’ con ‘2m’.
Obtenemos,
PROMEDIO = {m * (m + 1) * (2m + 1) / 6} / 2m
∴ PROMEDIO = (m + 1) * (2m + 1) / 12

Answer 4

Bueno, la suma de los cuadrados de los primeros n números naturales es [matemática] n (n + 1) (2n + 1) / 6 [/ matemática]

Reemplace n por 2 m para obtener la suma de los cuadrados de los primeros números naturales de 2 m.

[matemática] 2m (2m + 1) (4m + 1) / 6 [/ matemática]

Entonces la media aritmética es [matemática] (2m + 1) (4m + 1) / 6 [/ matemática]

Answer 5

La media aritmética no es más que la suma de todas las observaciones dividida por el número de observaciones. Sabemos que la suma de n números naturales viene dada por la fórmula n (n + 1) (2n + 1) / 6 Del mismo modo, la suma de 2n números naturales no es más que, donde ‘n’ ponga ‘2n’.

Del mismo modo, la suma de 2m números naturales no es más que donde n pone ‘2m’.Ahora tenemos la suma de 2m números naturales. Así que la media aritmética = 2m (2m + 1) [2 (2m) +1] / 6 / 2m

= 2 m (2 m + 1) (4 m + 1) / 6 * 2 m

= (2m + 1) (4m + 1) / 6 => respuesta

Answer 6

(2m + 1) (4m + 1) / 6
Según tengo entendido su pregunta, usted quiere una media teatral del cuadrado del primer n n. Natural donde n = 2 m
Así que solo encuentra la suma del cuadrado del primer n natural no. Y dividirlo por n
Suma del cuadrado del primer n natural no. Es n (n + 1) (2n + 1) / 6
Dividir por n y reemplazar n por 2m