¿Cuáles son las ventajas y desventajas de estudiar la teoría de números principalmente a través de la perspectiva del álgebra y la teoría de grupos?

Answer 1

Puedes llegar bastante lejos en la teoría de números al enfocarte en técnicas algebraicas. Al mismo tiempo, te perderás algunas partes fundamentales e importantes de la teoría.

Ventajas? Supongo que si no te gusta el análisis y deseas evitar derivadas, integrales, series infinitas y la teoría de funciones complejas, entonces puedes disfrutar aprendiendo Teoría de números bastante profunda mientras te alejas de esas técnicas. No se quedaría atascado demasiado rápido: puede pasar una buena cantidad de años estudiando la teoría de números algebraicos, e incluso cosas como las partes no analíticas de la teoría de números aditivos [math] p [/ math], evitando las técnicas analíticas.

La desventaja es que quedará ciego ante algunos de los aspectos cruciales y más hermosos de la teoría de los números. Las buenas introducciones a la teoría de números abarcan aspectos tanto algebraicos como analíticos porque son importantes y en algún momento se fusionan en un solo cuerpo inseparable.

Sin análisis, no podrá aprender razonablemente las pruebas del teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas, o el Teorema del número primo, o la fórmula de cuatro cuadrados de Jacobi. No podrá comprender la interacción entre los aspectos algebraicos y analíticos complejos de las curvas elípticas, lo que significa que no puede comprender completamente ni siquiera los conceptos básicos de la teoría. No podrá aprender sobre formas modulares, que se encuentran en el corazón de una tremenda cantidad de investigación clásica y moderna.

Mas o menos:

• En el nivel primario , hay más álgebra que análisis, pero el análisis no está ausente. Hay resultados bastante elementales que requieren, o son más claros, con análisis.
• En el nivel avanzado , la mezcla es más o menos igual, y en algún momento las líneas se difuminan y no hay una separación real entre las técnicas algebraicas y analíticas.

Para ser claros, una vez más, hay mucho que aprender que es puramente algebraico. Tendrás que trabajar muy, muy duro para estar en un lugar donde realmente estés “sin” nada más que aprender.

Answer 2

Para ser justos, eso describe la mayor parte de la teoría de los números elementales, y muchas de las ideas de la teoría de Galois y el álgebra conmutativa surgieron del estudio de polinomios y la factorización de las cosas sobre las generalizaciones de los enteros.

Reducción mod [matemáticas] n [/ matemáticas]? Eso es solo un anillo de homomorfismo surjective [math] \ mathbb {Z} \ rightarrow \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z} [/ math].

¿Números primos? Esos son solo generadores de los ideales primarios de [math] \ mathbb {Z} [/ math].

Teorema de Euler? Eso es solo una declaración sobre el orden de un elemento en el grupo multiplicativo [math] \ left (\ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z} \ right) ^ \ times [/ math].

Supongo que los problemas comienzan cuando comienzas a profundizar más y más en la teoría de números. Eventualmente, necesitará hacer uso de resultados analíticos. Sin embargo, si quieres ser un teórico de números algebraicos incondicionales, puedes hacer que tu exposición a tales resultados sea mínima.