En [math] \ mathbb {Z} [i] [/ math], ¿tenemos necesariamente la igualdad de ideales [math] (p) = (p, x – i) (p, x + i) [/ math] ?

Answer 1

Sí. Como se señaló en la respuesta de Sridhar Ramesh a ¿Cómo se prueba que el número de tripletas pitagóricas primitivas de hipotenusa c depende del número de factores primos de la forma 4k + 1 ?, sobre los enteros gaussianos, cada primo [matemático] p \ equiv 1 \ pmod 4 [/ math] puede expresarse como [math] (a + bi) \ times (a – bi) [/ math] de una manera casi única (única hasta la negación e intercambio de [math] a [/ math ] y [matemáticas] b [/ matemáticas]). Como [math] x ^ 2 \ equiv – 1 \ pmod p [/ math], tenemos que [math] x \ equiv b / a \ pmod p [/ math] (para una elección adecuada de [math] a [/ math ] y [matemáticas] b [/ matemáticas]), y por lo tanto [matemáticas] (p, x – i) [/ matemáticas] es lo mismo que [matemáticas] (p, a + bi) [/ matemáticas], que a su vez es lo mismo que [math] (a + bi) [/ math], y de manera similar obtenemos que [math] (p, x + i) [/ math] es [math] (a – bi) [/ math], de modo que, juntos, [matemáticas] (p, x -i) (p, x + i) = (a + bi) (a – bi) = (p) [/ matemáticas].