¿Hay [math] x \ in \ mathbb {F} _p [/ math] donde [math] x ^ 2 = -1 [/ math] iff [math] p \ equiv 1 \ text {mod} 4 [/ math] ? Aquí [math] p \ neq 2 [/ math] es primo.

Answer 1

Si [math] p \ equiv 1 \ mod 4 [/ math], entonces uno puede establecer [math] x = 1 \ times 2 \ times \ cdots \ times \ left (\ frac {p-1} {2} \ right ) = \ left (\ frac {p-1} {2} \ right)! [/ math], luego por el hecho de que [math] (p-1)! = – 1 [/ math] (teorema de Wilson), se ve fácilmente que [matemáticas] x ^ 2 \ equiv -1 [/ matemáticas].

De lo contrario, si [math] p \ equiv 3 \ mod 4 [/ math], entonces [math] (p-1) / 2 [/ math] es un número impar. Supongamos que hemos encontrado una [matemática] x [/ matemática], tal que [matemática] x ^ 2 \ equiv -1 [/ matemática]. Ahora eleva ambos lados por el poder de [math] (p-1) / 2 [/ math]. El lado izquierdo se convertiría en [matemáticas] x ^ {p-1} [/ matemáticas], y el lado derecho permanecería [matemáticas] -1 [/ matemáticas]. Pero por el pequeño teorema de Fermat, uno sabe que [matemática] x ^ {p-1} [/ matemática] es 1, entonces [matemática] 1 \ equiv -1 [/ matemática], lo que sugiere que [matemática] p = 2 [/matemáticas].

Answer 2

Sí, queremos utilizar el hecho de que [math] {\ mathbb F} _p ^ \ times [/ math] es un grupo cíclico de orden p – 1.

Primero observe que el elemento de campo -1 es el único elemento de orden 2 en este grupo cíclico.

Ahora, si p es congruente 1 módulo 4, entonces este grupo cíclico tiene un orden divisible por 4, por lo tanto, un elemento de orden 4. El cuadrado de este elemento tiene orden dos, es decir, es -1.

Si p no es congruente 1 módulo 4, entonces 4 no divide el orden del grupo multiplicativo, por lo que no puede tener un elemento de orden 4.

Answer 3

Bueno, su pregunta es la misma que si la ecuación [matemáticas] x ^ 2 + 1 \ equiv 0 \ pmod p [/ matemáticas] es solucionable. Es posible que no lo encuentre en el libro de campo finito, ya que puede no tocar esta pregunta a menos que se trate de esta expansión de campo especial.

Verifique el material en la literatura sobre una ecuación de diofantina tan simple. No tengo un libro tan útil, pero creo que debe estar en algún lugar de algún libro. No es un problema difícil en absoluto.