Esta pregunta se puede responder utilizando fracciones continuas. La idea es expresar [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] como una fracción continua simple, una con solo unos en los numeradores.
La expansión es, por supuesto, infinita. Me detendré cuando llegue a un cociente parcial inusualmente grande. Lo resolveré lentamente. Denotaré la función de piso [math] \ lfloor {x} \ rfloor [/ math] – denota el mayor entero menor o igual que [math] x. [/ Math]
[matemáticas] \ pi = \ lfloor {\ pi} \ rfloor + (\ pi – \ lfloor {\ pi} \ rfloor) = 3 + \ dfrac {1} {\ frac {1} {\ pi-3}} [ /matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {1} {\ pi-3} = \ lfloor {\ dfrac {1} {\ pi-3}} \ rfloor + (\ dfrac {1} {\ pi-3} – \ lfloor {\ dfrac {1} {\ pi-3}} \ rfloor) = 7 + (\ dfrac {1} {\ pi-3} – 7) [/ math]
- Cómo demostrar que [matemáticas] B_1 = \ {1, x, x ^ 2 \} [/ matemáticas] es la base de [matemáticas] V [/ matemáticas]
- ¿Es necesario / importante aprender teoría de números para la informática y los algoritmos de escritura?
- ¿Hay [math] x \ in \ mathbb {F} _p [/ math] donde [math] x ^ 2 = -1 [/ math] iff [math] p \ equiv 1 \ text {mod} 4 [/ math] ? Aquí [math] p \ neq 2 [/ math] es primo.
- En [math] \ mathbb {Z} [i] [/ math], ¿tenemos necesariamente la igualdad de ideales [math] (p) = (p, x – i) (p, x + i) [/ math] ?
- ¿Cuál es el resto cuando 71 ^ 99/1000?
Se siente doloroso llevar la expresión exacta. Como solo buscamos los términos mínimos, llamados cocientes parciales, las aproximaciones aún nos dan las respuestas correctas durante bastante tiempo.
[matemáticas] \ dfrac {1} {\ dfrac {1} {\ pi-3} – 7} \ aprox 15.9965944 [/ matemáticas]
[matemáticas] 1 / .9965944 = 1.00341723 [/ matemáticas]
[matemáticas] 1 / .00341723 = 292.6345910 [/ matemáticas]
Lo que hemos hecho es mostrar
[matemáticas] \ pi = 3 + \ dfrac {1} {7 + \ dfrac {1} {15 + \ dfrac {1} {1 + \ dfrac {1} {292 +…}}}} = [3, 7 , 15, 1, 292,…] [/ matemáticas]
La notación de corchetes simplemente enumera los cocientes parciales sin todas las demás repeticiones.
Si nos detenemos en un número finito de cocientes parciales, obtenemos los convergentes a [math] \ pi: [/ math]
[matemáticas] [3] = \ dfrac {3} {1} [/ matemáticas]
[matemáticas] [3, 7] = 3 + \ dfrac {1} {7} = \ dfrac {22} {7} [/ matemáticas]
[matemáticas] [3, 7, 15] = 3 + \ dfrac {1} {7 + \ dfrac {1} {15}} = \ dfrac {333} {106} [/ matemáticas]
[matemáticas] [3,7,15,1] = \ dfrac {355} {113} [/ matemáticas]
[matemáticas] [3,7,15,1,292] = \ dfrac {103993} {33102} [/ matemáticas]
Los convergentes sucesivos [math] \ dfrac {p_ {i-1}} {q_ {i-1}}, \ dfrac {p_i} {q_i} [/ math] siempre satisfacen la propiedad mágica:
[matemáticas] p_i q_ {i-1} – q_i p_ {i-1} = (-1) ^ i [/ matemáticas]
Por ejemplo
[matemáticas] 22 \ cdot 1 – 7 \ cdot 3 = 1 [/ math]
[matemáticas] 355 \ cdot 106 – 113 \ cdot 333 = 1 [/ matemáticas]
El lado derecho es siempre +1 o -1. En cierto sentido, esto hace que [math] \ dfrac {p_ {i-1}} {q_ {i-1}} [/ math] sea la mejor aproximación a [math] \ dfrac {p_i} {q_i} [/ math] para su tamaño. Porque la única forma de hacerlo mejor es si alguna vez tuvimos
[matemáticas] p_i q_ {i-1} – q_i p_ {i-1} = 0 [/ matemáticas]
lo que solo significa
[matemáticas] \ dfrac {p_ {i-1}} {q_ {i-1}} = \ dfrac {p_i} {q_i} [/ matemáticas]
Vemos que el cociente parcial muy grande [matemática] 292 [/ matemática] indica que el convergente anterior era una muy buena aproximación dado su tamaño. Entonces
[matemáticas] \ dfrac {355} {113} [/ matemáticas]
es la respuesta.